Trigonometria

---

🧩 Exercício 2 1987/1988Médio

Demonstre a identidade

$$\operatorname{tg}^2x+\operatorname{cotg}^2x = 2\left( \frac{3+\cos4x}{1-\cos4x} \right).$$

Partimos do primeiro membro:

$$\operatorname{tg}^2x+\operatorname{cotg}^2x.$$

Colocando as duas parcelas sobre o mesmo denominador:

$$\operatorname{tg}^2x+\operatorname{cotg}^2x = \frac{\operatorname{sen}^4x+\cos^4x} {\operatorname{sen}^2x\cos^2x}.$$

Como

$$\operatorname{sen}^4x+\cos^4x = (\operatorname{sen}^2x+\cos^2x)^2 -2\operatorname{sen}^2x\cos^2x,$$

e

$$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1,$$

temos

$$\operatorname{sen}^4x+\cos^4x = 1-2\operatorname{sen}^2x\cos^2x.$$

Assim,

$$\operatorname{tg}^2x+\operatorname{cotg}^2x = \frac{1-2\operatorname{sen}^2x\cos^2x} {\operatorname{sen}^2x\cos^2x}.$$

Agora, usando

$$\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x,$$

temos

$$\operatorname{sen}^2x\cos^2x = \frac{\operatorname{sen}^22x}{4}.$$

Portanto,

$$\operatorname{tg}^2x+\operatorname{cotg}^2x = \frac{4}{\operatorname{sen}^22x}-2.$$

Usando

$$\operatorname{sen}^22x = \frac{1-\cos4x}{2},$$

obtemos

$$\operatorname{tg}^2x+\operatorname{cotg}^2x = \frac{8}{1-\cos4x}-2.$$

Colocando tudo sobre o mesmo denominador:

$$\operatorname{tg}^2x+\operatorname{cotg}^2x = \frac{8-2(1-\cos4x)} {1-\cos4x}.$$

Logo,

$$\operatorname{tg}^2x+\operatorname{cotg}^2x = \frac{6+2\cos4x} {1-\cos4x}.$$

Finalmente,

$$\boxed{ \operatorname{tg}^2x+\operatorname{cotg}^2x = 2\left( \frac{3+\cos4x}{1-\cos4x} \right) }.$$

Portanto, a identidade está demonstrada.

🧩 Exercício 3 IMEMédio

Resolva a equação

$$\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}(2\alpha) = 2\operatorname{tg}(3\alpha),$$

sabendo-se que

$$\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right).$$

Inicialmente, devemos excluir os valores de $\alpha$ para os quais alguma das tangentes não está definida.

Como

$$\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right),$$

temos que $\operatorname{tg}\alpha$ está definida.

Para $\operatorname{tg}(2\alpha)$ estar definida, devemos ter

$$2\alpha\neq\frac{\pi}{2},$$

portanto,

$$\alpha\neq\frac{\pi}{4}.$$

Também devemos ter $\operatorname{tg}(3\alpha)$ definida. Assim,

$$3\alpha\neq\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},$$

o que, no intervalo considerado, implica

$$\alpha\neq\frac{\pi}{6}, \qquad \alpha\neq\frac{\pi}{2}.$$

Agora, façamos

$$t=\operatorname{tg}\alpha.$$

Usando as fórmulas da tangente do arco duplo e triplo,

$$\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2t}{1-t^2}$$

e

$$\operatorname{tg}(3\alpha) = \frac{3t-t^3}{1-3t^2}.$$

Substituindo na equação:

$$t+\frac{2t}{1-t^2} = 2\frac{3t-t^3}{1-3t^2}.$$

Colocando tudo no mesmo lado e simplificando:

$$\frac{t(t^2-3)(t^2+1)} {(t-1)(t+1)(3t^2-1)} =0.$$

Como $t$ é real,

$$t^2+1\neq0.$$

Logo,

$$t=0 \qquad\text{ou}\qquad t^2=3.$$

Como

$$\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right),$$

temos $t=\operatorname{tg}\alpha\geq0$. Portanto,

$$t=0 \quad\text{ou}\quad t=\sqrt3.$$

Daí,

$$\alpha=0$$

ou

$$\alpha=\frac{\pi}{3}.$$

Entretanto, $\alpha=\frac{\pi}{3}$ não pode ser solução da equação original, pois

$$3\alpha=\pi$$

e, nesse caso, $\operatorname{tg}(3\alpha)=\operatorname{tg}\pi=0$ está definida.

Assim, verificando diretamente na equação, para $\alpha=\frac{\pi}{3}$ temos

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} + \operatorname{tg}\frac{2\pi}{3} = \sqrt3-\sqrt3=0,$$

e

$$2\operatorname{tg}\pi=0.$$

Portanto, $\alpha=\frac{\pi}{3}$ também é solução.

Finalmente,

$$\boxed{ \alpha\in \left\{ 0,\frac{\pi}{3} \right\} }.$$

🧩 Exercício 4 IMEMédio

Calcule $\operatorname{sen}(x+y)$ em função de $a$ e $b$, sabendo que o produto $ab\neq0$, que

$$\operatorname{sen}x+\operatorname{sen}y=a$$

e que

$$\cos x+\cos y=b.$$

Temos

$$\operatorname{sen}x+\operatorname{sen}y=a$$

e

$$\cos x+\cos y=b.$$

Multiplicando as duas igualdades:

$$ab=(\operatorname{sen}x+\operatorname{sen}y) (\cos x+\cos y).$$

Desenvolvendo:

$$ab= \operatorname{sen}x\cos x +\operatorname{sen}x\cos y +\operatorname{sen}y\cos x +\operatorname{sen}y\cos y.$$

Agrupando os termos:

$$ab= (\operatorname{sen}x\cos x+\operatorname{sen}y\cos y) + (\operatorname{sen}x\cos y+\cos x\operatorname{sen}y).$$

Pela identidade do seno da soma,

$$\operatorname{sen}x\cos y+\cos x\operatorname{sen}y = \operatorname{sen}(x+y).$$

Além disso,

$$\operatorname{sen}x\cos x +\operatorname{sen}y\cos y = \frac{1}{2}(\operatorname{sen}2x+\operatorname{sen}2y).$$

Usando a soma de senos:

$$\operatorname{sen}2x+\operatorname{sen}2y = 2\operatorname{sen}(x+y)\cos(x-y).$$

Portanto,

$$ab= \operatorname{sen}(x+y) \left[1+\cos(x-y)\right].$$

Agora usamos

$$1+\cos(x-y) = 2\cos^2\frac{x-y}{2}.$$

Entretanto, há uma maneira mais direta de obter o resultado.

Elevando as duas relações dadas ao quadrado e somando:

$$a^2+b^2 = (\operatorname{sen}x+\operatorname{sen}y)^2 + (\cos x+\cos y)^2.$$

Desenvolvendo:

$$a^2+b^2 = \operatorname{sen}^2x+\cos^2x + \operatorname{sen}^2y+\cos^2y + 2(\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y+\cos x\cos y).$$

Como

$$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1$$

e

$$\operatorname{sen}^2y+\cos^2y=1,$$

temos

$$a^2+b^2 = 2+2\cos(x-y).$$

Assim,

$$1+\cos(x-y) = \frac{a^2+b^2}{2}.$$

Por outro lado,

$$ab= \operatorname{sen}(x+y) \left[1+\cos(x-y)\right].$$

Substituindo:

$$ab= \operatorname{sen}(x+y) \frac{a^2+b^2}{2}.$$

Logo,

$$\boxed{ \operatorname{sen}(x+y) = \frac{2ab}{a^2+b^2} }.$$

🧩 Exercício 5 IMEMédio

Sabe-se que

$$y= \frac{2+2^{\cos 2x}} {2\left(1+4^{\operatorname{sen}^2x}\right)}, \qquad \forall x\in\mathbb{R}.$$

Uma outra expressão para $y$ é

Começamos utilizando a identidade

$$\cos 2x=1-2\operatorname{sen}^2x.$$

Assim,

$$2^{\cos 2x} = 2^{1-2\operatorname{sen}^2x}.$$

Separando as potências:

$$2^{\cos 2x} = \frac{2}{2^{2\operatorname{sen}^2x}} = \frac{2}{4^{\operatorname{sen}^2x}}.$$

Definindo, para simplificar a escrita,

$$a=4^{\operatorname{sen}^2x},$$

temos

$$2^{\cos 2x}=\frac{2}{a}.$$

Substituindo na expressão de $y$:

$$y= \frac{2+\frac{2}{a}} {2(1+a)}.$$

Colocando $2$ em evidência no numerador:

$$y= \frac{2\left(1+\frac{1}{a}\right)} {2(1+a)}.$$

Como

$$1+\frac{1}{a} = \frac{1+a}{a},$$

segue que

$$y= \frac{2\frac{1+a}{a}} {2(1+a)}.$$

Cancelando os fatores comuns:

$$y=\frac{1}{a}.$$

Como $a=4^{\operatorname{sen}^2x}$,

$$y= \frac{1}{4^{\operatorname{sen}^2x}}.$$

Finalmente,

$$4^{\operatorname{sen}^2x} = \left(2^2\right)^{\operatorname{sen}^2x} = 2^{2\operatorname{sen}^2x}.$$

Portanto,

$$\boxed{ y=2^{-2\operatorname{sen}^2x} }.$$

🧩 Exercício 6 Médio

Resolva a equação

$$\log_{(\operatorname{sen}x+\cos x)} (1+\operatorname{sen}2x)=2, \qquad x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

Observe que

$$1+\operatorname{sen}2x = 1+2\operatorname{sen}x\cos x.$$

Como

$$(\operatorname{sen}x+\cos x)^2 = \operatorname{sen}^2x +2\operatorname{sen}x\cos x +\cos^2x,$$

e

$$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1,$$

temos

$$1+\operatorname{sen}2x = (\operatorname{sen}x+\cos x)^2.$$

Portanto, a equação se transforma em

$$\log_{(\operatorname{sen}x+\cos x)} \left[ (\operatorname{sen}x+\cos x)^2 \right]=2.$$

Para que o logaritmo esteja definido, é necessário que

$$\operatorname{sen}x+\cos x>0$$

e

$$\operatorname{sen}x+\cos x\neq1.$$

A primeira condição pode ser escrita como

$$\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)>0.$$

No intervalo

$$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2},$$

isso ocorre quando

$$-\frac{\pi}{4}<x\leq\frac{\pi}{2}.$$

Agora, determinamos os pontos em que a base é igual a $1$:

$$\operatorname{sen}x+\cos x=1.$$

No intervalo considerado, as soluções são

$$x=0 \quad\text{e}\quad x=\frac{\pi}{2}.$$

Esses valores devem ser excluídos, pois a base do logaritmo não pode ser igual a $1$.

Assim, o conjunto solução é

$$\boxed{ x\in \left(-\frac{\pi}{4},0\right) \cup \left(0,\frac{\pi}{2}\right) }.$$

🧩 Exercício 7 Médio

Resolva a equação

$$2\operatorname{sen}11x+\cos3x+\sqrt3\operatorname{sen}3x=0.$$

Primeiramente, vamos transformar os dois últimos termos em uma única função trigonométrica.

Usando

$$2\operatorname{sen}\left(3x+\frac{\pi}{6}\right) = 2\left( \operatorname{sen}3x\cos\frac{\pi}{6} + \cos3x\operatorname{sen}\frac{\pi}{6} \right),$$

como

$$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2} \quad\text{e}\quad \operatorname{sen}\frac{\pi}{6}=\frac12,$$

obtemos

$$2\operatorname{sen}\left(3x+\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt3\operatorname{sen}3x+\cos3x.$$

Assim, a equação torna-se

$$2\operatorname{sen}11x + 2\operatorname{sen}\left(3x+\frac{\pi}{6}\right) =0.$$

Dividindo por $2$:

$$\operatorname{sen}11x + \operatorname{sen}\left(3x+\frac{\pi}{6}\right) =0.$$

Aplicando a fórmula

$$\operatorname{sen}A+\operatorname{sen}B = 2\operatorname{sen}\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2},$$

com

$$A=11x \quad\text{e}\quad B=3x+\frac{\pi}{6},$$

temos

$$2\operatorname{sen}\left(7x+\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(4x-\frac{\pi}{12}\right) =0.$$

Portanto,

$$\operatorname{sen}\left(7x+\frac{\pi}{12}\right)=0$$

ou

$$\cos\left(4x-\frac{\pi}{12}\right)=0.$$

1. Primeira possibilidade

Temos

$$7x+\frac{\pi}{12}=k\pi, \qquad k\in\mathbb Z.$$

Logo,

$$7x=k\pi-\frac{\pi}{12},$$

e

$$\boxed{ x=\frac{k\pi}{7}-\frac{\pi}{84} }.$$

2. Segunda possibilidade

Temos

$$4x-\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z.$$

Assim,

$$4x = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12}+k\pi = \frac{7\pi}{12}+k\pi.$$

Portanto,

$$\boxed{ x=\frac{7\pi}{48}+\frac{k\pi}{4} }, \qquad k\in\mathbb Z.$$

Assim, o conjunto solução é

$$\boxed{ x= \frac{k\pi}{7}-\frac{\pi}{84} \quad\text{ou}\quad x= \frac{7\pi}{48}+\frac{k\pi}{4}, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

🧩 Exercício 8 Médio

Calcule o valor exato de

$$\operatorname{sen}\left[ 2\operatorname{arccot}\left(\frac{4}{3}\right) \right] + \cos\left[ 2\operatorname{arccosec}\left(\frac{5}{4}\right) \right].$$

Seja

$$\theta=\operatorname{arccot}\left(\frac{4}{3}\right).$$

Então,

$$\cot\theta=\frac{4}{3}.$$

Considerando o triângulo retângulo correspondente, podemos tomar os catetos como $4$ e $3$. Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa vale $5$.

Assim,

$$\operatorname{sen}\theta=\frac35 \quad\text{e}\quad \cos\theta=\frac45.$$

Usando a fórmula do seno do arco duplo:

$$\operatorname{sen}2\theta = 2\operatorname{sen}\theta\cos\theta.$$

Portanto,

$$\operatorname{sen}2\theta = 2\cdot\frac35\cdot\frac45 = \frac{24}{25}.$$

Agora, seja

$$\varphi=\operatorname{arccosec}\left(\frac54\right).$$

Então,

$$\operatorname{cosec}\varphi=\frac54,$$

ou seja,

$$\operatorname{sen}\varphi=\frac45.$$

Como estamos considerando o valor principal do arco cosecante, temos

$$\cos\varphi=\frac35.$$

Usando a fórmula do cosseno do arco duplo:

$$\cos2\varphi = \cos^2\varphi-\operatorname{sen}^2\varphi.$$

Logo,

$$\cos2\varphi = \left(\frac35\right)^2 - \left(\frac45\right)^2 = \frac9{25}-\frac{16}{25} = -\frac7{25}.$$

Portanto, a expressão original vale

$$\frac{24}{25}-\frac7{25} = \boxed{\frac{17}{25}}.$$

🧩 Exercício 9 Médio

Resolva a seguinte desigualdade:

$$\frac{\cos 2x+\cos x-1}{\cos 2x}\geq 2,$$

para

$$0\leq x\leq\pi.$$

Fazendo

$$t=\cos x,$$

e usando

$$\cos2x=2\cos^2x-1,$$

temos

$$\cos2x=2t^2-1.$$

A desigualdade torna-se

$$\frac{2t^2+t-2}{2t^2-1}\geq2.$$

Passando o $2$ para o primeiro membro:

$$\frac{2t^2+t-2-2(2t^2-1)} {2t^2-1} \geq0.$$

Simplificando:

$$\frac{-2t^2+t}{2t^2-1}\geq0.$$

Fatorando:

$$\frac{t(1-2t)} {(1-\sqrt2t)(1+\sqrt2t)} \geq0.$$

Os pontos críticos são

$$t=-\frac{1}{\sqrt2}, \qquad t=0, \qquad t=\frac12, \qquad t=\frac{1}{\sqrt2}.$$

Os valores

$$t=\pm\frac{1}{\sqrt2}$$

devem ser excluídos, pois anulam o denominador original.

Fazendo o estudo de sinais, considerando que

$$-1\leq t\leq1,$$

obtemos

$$t\in \left(-\frac1{\sqrt2},0\right] \cup \left[\frac12,\frac1{\sqrt2}\right).$$

Agora voltamos para $x$. Como

$$t=\cos x$$

e $\cos x$ é decrescente em $[0,\pi]$:

Primeiro intervalo

$$-\frac1{\sqrt2}<\cos x\leq0.$$

Isso corresponde a

$$\frac{\pi}{2}\leq x<\frac{3\pi}{4}.$$

Segundo intervalo

$$\frac12\leq\cos x<\frac1{\sqrt2}.$$

Portanto,

$$\frac{\pi}{4}<x\leq\frac{\pi}{3}.$$

Assim, o conjunto solução é

$$\boxed{ x\in \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right) }.$$