Geometria

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🧩 Exercício 4 IMEMédio

Seja $ABC$ um triângulo de lados $AB$, $BC$ e $AC$ iguais a $26$, $28$ e $18$, respectivamente. Considere o círculo de centro $O$ inscrito nesse triângulo. A distância $AO$ vale:

Seja $r$ o raio da circunferência inscrita e seja $A$ o ângulo do vértice $A$.

Como $O$ é o incentro, $AO$ é a bissetriz do ângulo $A$. Se $H$ é o ponto de tangência da circunferência com um dos lados que formam o ângulo $A$, então o triângulo $AOH$ é retângulo e

$$\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2} = \frac{r}{AO}.$$

Portanto,

$$AO=\frac{r}{\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2}}.$$

1. Calculando o raio inscrito

O semiperímetro do triângulo é

$$p=\frac{26+28+18}{2}=36.$$

Pela fórmula de Heron, a área é

$$\Delta = \sqrt{36(36-26)(36-28)(36-18)}.$$

Logo,

$$\Delta = \sqrt{36\cdot10\cdot8\cdot18} = 72\sqrt{10}.$$

Como

$$\Delta=rp,$$

temos

$$r=\frac{\Delta}{p} = \frac{72\sqrt{10}}{36} = 2\sqrt{10}.$$

2. Calculando $\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2}$

O lado oposto ao ângulo $\alpha$ é $BC=28$. Pela Lei dos Cossenos,

$$28^2=26^2+18^2-2(26)(18)\cos\alpha.$$

Assim,

$$784=676+324-936\cos\alpha,$$

portanto,

$$936\cos\alpha=216,$$

e

$$\cos\alpha=\frac{3}{13}.$$

Usando a fórmula do seno do ângulo metade,

$$\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}.$$

Logo,

$$\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1-\frac{3}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{10}{26}} = \sqrt{\frac{5}{13}}.$$

3. Calculando $AO$

Finalmente,

$$AO = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{\frac{5}{13}}}.$$

Portanto,

$$AO = 2\sqrt{\frac{130}{5}} = 2\sqrt{26}.$$

Como

$$2\sqrt{26}=\sqrt{104},$$

concluímos que

$$\boxed{AO=\sqrt{104}}.$$

🧩 Exercício 5 IME 2010/2011Difícil

Seja $ABC$ um triângulo onde $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ são os ângulos internos dos vértices $A$, $B$ e $C$, respectivamente. Esse triângulo está inscrito em um círculo de raio unitário.

As bissetrizes internas desses ângulos interceptam esse círculo nos pontos $A_1$, $B_1$ e $C_1$, respectivamente.

Determine o valor da expressão

$$\frac{ \overline{AA_1}\cos\frac{\alpha}{2} + \overline{BB_1}\cos\frac{\beta}{2} + \overline{CC_1}\cos\frac{\gamma}{2} }{ \operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta+\operatorname{sen}\gamma }.$$

Vamos determinar separadamente cada uma das parcelas do numerador.

1. Determinação de $\overline{AA_1}\cos\frac{\alpha}{2}$

Considere o triângulo $AA_1B$.

Como $AA_1$ é a bissetriz interna do ângulo $\alpha$, temos

$$\angle BAA_1=\frac{\alpha}{2}.$$

Além disso, os ângulos $\angle CBA_1$ e $\angle A_1AC$ são ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco $\widehat{CA_1}$. Portanto,

$$\angle CBA_1=\angle A_1AC=\frac{\alpha}{2}.$$

Como

$$\angle ABC=\beta,$$

e os raios $BA$ e $BA_1$ estão em lados opostos de $BC$, segue que

$$\angle ABA_1 = \beta+\frac{\alpha}{2}.$$

Aplicando a Lei dos Senos no triângulo $AA_1B$:

$$\frac{\overline{AA_1}} {\operatorname{sen}\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right)} = 2R.$$

Como o raio da circunferência é unitário,

$$R=1,$$

e, portanto,

$$\overline{AA_1} = 2\operatorname{sen}\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right).$$

Multiplicando por $\cos\frac{\alpha}{2}$:

$$\overline{AA_1}\cos\frac{\alpha}{2} = 2\operatorname{sen}\left(\beta+\frac{\alpha}{2}\right) \cos\frac{\alpha}{2}.$$

Usando a fórmula da transformação em soma de senos,

$$2\operatorname{sen}x\cos y = \operatorname{sen}(x+y)+\operatorname{sen}(x-y),$$

obtemos

$$\overline{AA_1}\cos\frac{\alpha}{2} = \operatorname{sen}(\alpha+\beta)+\operatorname{sen}\beta.$$

Como

$$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$

temos

$$\operatorname{sen}(\alpha+\beta) = \operatorname{sen}(\pi-\gamma) = \operatorname{sen}\gamma.$$

Logo,

$$\boxed{ \overline{AA_1}\cos\frac{\alpha}{2} = \operatorname{sen}\beta+\operatorname{sen}\gamma }.$$

2. As outras duas parcelas

Aplicando exatamente o mesmo raciocínio aos pontos $B_1$ e $C_1$, obtemos

$$\boxed{ \overline{BB_1}\cos\frac{\beta}{2} = \operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\gamma }$$

e

$$\boxed{ \overline{CC_1}\cos\frac{\gamma}{2} = \operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta }.$$

Portanto, o numerador da expressão é

$$(\operatorname{sen}\beta+\operatorname{sen}\gamma) + (\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\gamma) + (\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta).$$

Agrupando os termos:

$$=2\operatorname{sen}\alpha +2\operatorname{sen}\beta +2\operatorname{sen}\gamma.$$

Assim,

$$\overline{AA_1}\cos\frac{\alpha}{2} + \overline{BB_1}\cos\frac{\beta}{2} + \overline{CC_1}\cos\frac{\gamma}{2} = 2(\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta+\operatorname{sen}\gamma).$$

Substituindo na expressão original:

$$\frac{ 2(\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta+\operatorname{sen}\gamma) }{ \operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta+\operatorname{sen}\gamma } =2.$$

Portanto,

$$\boxed{2}.$$