EFOMM 2023: Prova de Física Resolvida e Gabarito

Nesta página, você encontrará a prova de Física da EFOMM 2023, com as questões e suas respectivas resoluções passo a passo.

As questões são apresentadas com explicações detalhadas, permitindo acompanhar as estratégias e os conceitos matemáticos utilizados em cada problema.

🧩 Exercício 21 EFOMMMédio

A superfície cilíndrica oca da figura abaixo possui $2\,\text{m}$ de raio.

Um pequeno objeto esférico, com massa de $0{,}5\,\text{kg}$ e raio desprezível, é arremessado em seu interior. A velocidade inicial do objeto é horizontal e paralela à superfície cilíndrica. Verifica-se que o módulo da velocidade da esfera, $1\,\text{s}$ após o início do movimento, é de $12\,\text{m/s}$.

Supondo que não há forças dissipativas, a intensidade da reação normal do cilindro sobre a esfera nesse instante vale:

Dado: $g=10\,\text{m/s}^2$.

1. Determinação da componente vertical da velocidade

A esfera possui uma componente vertical da velocidade que aumenta devido à aceleração da gravidade. Como a velocidade inicial é horizontal, a componente vertical inicial é nula.

Assim,

$$v_y=gt$$

No instante $t=1\,\text{s}$:

$$v_y=10\cdot1$$$$\boxed{v_y=10\,\text{m/s}}$$

2. Determinação da componente tangencial horizontal

O módulo da velocidade total é $v=12\,\text{m/s}$. Decompondo a velocidade nas componentes horizontal tangencial e vertical:

$$v^2=v_t^2+v_y^2$$

Isolando $v_t^2$:

$$v_t^2=v^2-v_y^2$$

Substituindo os valores:

$$v_t^2=12^2-10^2$$$$v_t^2=144-100$$$$\boxed{v_t^2=44\,\text{m}^2/\text{s}^2}$$

3. Cálculo da força normal

A força normal fornece a força centrípeta associada ao movimento circular horizontal. Portanto,

$$N=\frac{mv_t^2}{R}$$

Substituindo $m=0{,}5\,\text{kg}$, $v_t^2=44\,\text{m}^2/\text{s}^2$ e $R=2\,\text{m}$:

$$N=\frac{0{,}5\cdot44}{2}$$$$N=\frac{22}{2}$$

Logo,

$$\boxed{N=11\,\text{N}}$$

Portanto, a alternativa correta é (B).

🧩 Exercício 22 EFOMMDifícil

Um pequeno objeto com $100\,\text{g}$ de massa é arremessado com velocidade inicial horizontal

$$\vec{v}_0=10\hat{\imath}\,\text{m/s}$$

em direção a uma parede a $5\,\text{m}$ de distância. A colisão entre ele e a parede dura $1\,\text{ms}$ e, durante esse tempo, o objeto fica sujeito a uma força normal constante. Também durante esse intervalo, ocorre um ínfimo deslocamento vertical do objeto sobre a parede, sendo de $0{,}1$ o coeficiente de atrito cinético entre ambos.

Imediatamente após a colisão, o objeto retorna com velocidade

$$\vec{v}=(-8\hat{\imath}+v_y\hat{\jmath})\,\text{m/s}.$$

O módulo de $v_y$ vale aproximadamente:

Dado: $g=10\,\text{m/s}^2$.

1. Velocidade vertical ao atingir a parede

O objeto percorre horizontalmente $5\,\text{m}$ até a parede com velocidade horizontal constante de $10\,\text{m/s}$. Portanto, o tempo até a colisão é

$$t=\frac{5}{10}=0{,}5\,\text{s}.$$

Como a velocidade vertical inicial é nula, a componente vertical da velocidade ao atingir a parede é

$$v_{y0}=gt.$$

Substituindo os valores:

$$v_{y0}=10(0{,}5).$$

Logo,

$$\boxed{v_{y0}=5\,\text{m/s}}.$$

2. Determinação da força normal

Durante a colisão, a velocidade horizontal passa de $10\,\text{m/s}$ para $-8\,\text{m/s}$. Pelo teorema do impulso e da quantidade de movimento:

$$N\Delta t=m(v_x-v_{x0}).$$

Tomando o módulo do impulso:

$$N(0{,}001)=0{,}1|-8-10|.$$$$N(0{,}001)=1{,}8.$$

Portanto,

$$\boxed{N=1800\,\text{N}}.$$

3. Determinação da força de atrito

A força de atrito cinético é dada por

$$F_{\text{at}}=\mu N.$$

Substituindo os valores:

$$F_{\text{at}}=0{,}1(1800).$$

Assim,

$$\boxed{F_{\text{at}}=180\,\text{N}}.$$

4. Aplicação do teorema do impulso na direção vertical

Durante a colisão, o objeto continua descendo. Portanto, o atrito atua para cima, enquanto o peso atua para baixo.

Tomando o sentido para baixo como positivo, temos

$$mv_y-mv_{y0}=(mg-F_{\text{at}})\Delta t.$$

Substituindo os valores:

$$0{,}1v_y-0{,}1(5)=(1-180)(0{,}001).$$$$0{,}1v_y-0{,}5=-0{,}179.$$$$0{,}1v_y=0{,}321.$$

Logo,

$$\boxed{v_y=3{,}21\,\text{m/s}}.$$

Portanto, o módulo da componente vertical da velocidade após a colisão é aproximadamente

$$\boxed{|v_y|\approx3{,}2\,\text{m/s}}.$$

Alternativa correta: (C).

🧩 Exercício 23 EFOMMMédio

Considere as cargas puntiformes localizadas nos vértices de um quadrado de lado $d$. Sendo $k$ a constante elétrica, determine o potencial elétrico no ponto $P$, que se encontra equidistante das cargas $2q$ e $q$.

1. Potencial elétrico resultante

O potencial elétrico é uma grandeza escalar. Portanto, o potencial resultante no ponto $P$ é a soma algébrica dos potenciais produzidos por cada carga:

$$V_P=k\sum_i\frac{Q_i}{r_i}.$$

2. Distâncias das cargas ao ponto $P$

Como $P$ está equidistante das cargas $2q$ e $q$ situadas nos vértices superiores e inferiores do lado direito, ele se encontra no ponto médio desse lado.

Assim, as distâncias até essas duas cargas são

$$r_1=r_2=\frac{d}{2}.$$

As distâncias até as cargas dos vértices esquerdos são iguais entre si e valem

$$r_3=r_4=\sqrt{d^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2}.$$

Simplificando:

$$r_3=r_4=\frac{d\sqrt{5}}{2}.$$

3. Soma dos potenciais

As cargas nos vértices são $q$, $2q$, $3q$ e $q$. Logo,

$$V_P= \frac{kq}{d\sqrt{5}/2} +\frac{k(3q)}{d\sqrt{5}/2} +\frac{k(2q)}{d/2} +\frac{kq}{d/2}.$$

Agrupando os termos:

$$V_P=\frac{2kq}{d\sqrt{5}}(1+3) +\frac{2kq}{d}(2+1).$$

Portanto,

$$V_P=\frac{8kq}{d\sqrt{5}}+\frac{6kq}{d}.$$

Colocando $\frac{kq}{d}$ em evidência:

$$\boxed{V_P=\left(\frac{8}{\sqrt{5}}+6\right)\frac{kq}{d}}.$$

Alternativa correta: (E).

🧩 Exercício 24 EFOMMMédio

Duas forças que possuem intensidades de $10\,\text{N}$ e $6\,\text{N}$ são aplicadas nos pontos $A(1,-3)$ e $B(4,5)$, respectivamente, atuando em direções paralelas aos eixos ordenados. Os vetores representam as duas forças mencionadas.

Para que o objeto permaneça em repouso, uma terceira força deve ser aplicada sobre algum ponto da reta:

1. Determinação das forças

Pela figura, a força aplicada em $A(1,-3)$ tem intensidade $10\,\text{N}$ e direção vertical, enquanto a força aplicada em $B(4,5)$ tem intensidade $6\,\text{N}$ e direção horizontal.

Considerando os sentidos indicados na figura, as forças são

$$\vec{F}_A=10\hat{\jmath}$$$$\vec{F}_B=6\hat{\imath}.$$

A resultante dessas forças é

$$\vec{R}=6\hat{\imath}+10\hat{\jmath}.$$

Para que o objeto permaneça em equilíbrio translacional, a terceira força deve ser oposta à resultante:

$$\vec{F}_C=-6\hat{\imath}-10\hat{\jmath}.$$

2. Condição de equilíbrio de torques

Para que o objeto permaneça em repouso, também é necessário que o torque resultante seja nulo.

Tomando a origem como referência, o torque de uma força aplicada em $(x,y)$ é

$$\tau=xF_y-yF_x.$$

Para a força aplicada em $A(1,-3)$:

$$\tau_A=1(10)-(-3)(0)=10.$$

Para a força aplicada em $B(4,5)$:

$$\tau_B=4(0)-5(6)=-30.$$

Logo, a soma dos torques conhecidos é

$$\tau_A+\tau_B=10-30=-20.$$

A terceira força deve produzir torque igual a $20$:

$$\tau_C=20.$$

Se a terceira força for aplicada em um ponto $P(x,y)$, seu torque será

$$\tau_C=x(-10)-y(-6).$$

Assim,

$$-10x+6y=20.$$

Dividindo por $-2$:

$$\boxed{5x-3y=-10}.$$

Portanto, a alternativa correta é (E).

🧩 Exercício 25 EFOMMMédio

Um objeto pontual com $2\,\text{kg}$ de massa é preso a um fio rígido, com $1{,}5\,\text{m}$ de comprimento e massa desprezível, para formar um pêndulo. O pêndulo é elevado até formar um ângulo inicial de $60^\circ$ com a direção vertical e, em seguida, é solto com velocidade inicial nula. Após muitas oscilações, o sistema, que está sujeito às forças de atrito, atinge novamente o repouso em sua posição de equilíbrio.

Calcule o trabalho realizado pelas forças dissipativas durante o movimento.

Dados:

$$g=10\,\text{m/s}^2$$$$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$$

1. Aplicação do teorema da energia mecânica

O trabalho realizado pelas forças dissipativas é igual à variação da energia mecânica do sistema:

$$W_{\text{diss}}=E_{m,f}-E_{m,i}$$

Como o pêndulo parte do repouso e termina em repouso, sua energia cinética inicial e final é nula. Portanto, a variação da energia mecânica corresponde à variação da energia potencial gravitacional.

2. Variação da energia potencial gravitacional

Tomando a posição de equilíbrio como referência para a energia potencial gravitacional, a altura inicial do objeto em relação ao ponto mais baixo da trajetória é

$$h=L-L\cos 60^\circ$$

Substituindo os valores:

$$h=1{,}5-1{,}5\left(\frac{1}{2}\right)$$$$h=1{,}5-0{,}75$$$$\boxed{h=0{,}75\,\text{m}}$$

A energia potencial gravitacional inicial é

$$E_{p,i}=mgh$$$$E_{p,i}=2\cdot10\cdot0{,}75$$$$\boxed{E_{p,i}=15\,\text{J}}$$

Na posição final de equilíbrio, a energia potencial gravitacional é nula, pois ela foi escolhida como referência:

$$E_{p,f}=0$$

3. Cálculo do trabalho das forças dissipativas

Assim,

$$W_{\text{diss}}=E_{m,f}-E_{m,i}$$$$W_{\text{diss}}=0-15$$

Portanto,

$$\boxed{W_{\text{diss}}=-15\,\text{J}}$$

O sinal negativo indica que as forças dissipativas retiraram energia mecânica do sistema.

Alternativa correta: (D).

🧩 Exercício 26 EFOMMDifícil

Um cosmonauta armado se desloca com velocidade

$$\vec{v}_0=1\hat{\imath}\,\text{m/s},$$

em relação à estação espacial, localizada na origem do sistema de coordenadas. Ao passar pelo ponto $(-50,50)\,\text{m}$, ele aponta sua arma para uma direção que faz um ângulo $\theta$ com a vertical, conforme indica a figura, e dispara.

Após o disparo, que ocorre instantaneamente, o cosmonauta passa a seguir uma trajetória retilínea que vai desde o ponto $(-50,50)\,\text{m}$ até a origem. Sabe-se que o disparo dessa arma libera $50.100\,\text{J}$ de energia, os quais se convertem integralmente em energia cinética do projétil, com $100\,\text{g}$ de massa, e do cosmonauta carregando a arma, com $50\,\text{kg}$ de massa.

Quanto vale o seno de $\theta$?

1. Direção da velocidade final do cosmonauta

O cosmonauta parte do ponto $(-50,50)$ e segue em linha reta até a origem. Portanto, sua velocidade final aponta na direção do vetor

$$\Delta\vec{r}=50\hat{\imath}-50\hat{\jmath}.$$

Se $V$ é o módulo dessa velocidade, podemos escrever

$$\vec{V}=\frac{V}{\sqrt{2}}\hat{\imath} -\frac{V}{\sqrt{2}}\hat{\jmath}.$$

2. Conservação da quantidade de movimento

Como o disparo ocorre instantaneamente, a quantidade de movimento total do sistema se conserva.

Sejam $v_{px}$ e $v_{py}$ as componentes da velocidade do projétil após o disparo. A massa do cosmonauta com a arma é $M=50\,\text{kg}$, e a massa do projétil é $m=0{,}1\,\text{kg}$.

Na direção vertical, a quantidade de movimento inicial é nula:

$$0=-\frac{50V}{\sqrt{2}}+0{,}1v_{py}.$$

Isolando $v_{py}$:

$$\boxed{v_{py}=250\sqrt{2}\,V}.$$

Na direção horizontal, a quantidade de movimento inicial é

$$p_{x,i}=(50+0{,}1)(1)=50{,}1.$$

Logo,

$$50{,}1=\frac{50V}{\sqrt{2}}+0{,}1v_{px}.$$

Isolando $v_{px}$:

$$\boxed{v_{px}=501-250\sqrt{2}\,V}.$$

3. Conservação da energia

A energia cinética inicial do sistema é

$$E_{c,i}=\frac{1}{2}(50{,}1)(1)^2 =25{,}05\,\text{J}.$$

Como o disparo libera $50.100\,\text{J}$, a energia cinética final total é

$$E_{c,f}=25{,}05+50.100$$$$\boxed{E_{c,f}=50.125{,}05\,\text{J}}.$$

Aplicando a conservação da energia:

$$\frac{1}{2}(50)V^2+ \frac{1}{2}(0{,}1)(v_{px}^2+v_{py}^2) =50.125{,}05.$$

Substituindo as expressões das componentes do projétil:

$$25V^2+ 0{,}05\left[ (501-250\sqrt{2}V)^2+ (250\sqrt{2}V)^2 \right] =50.125{,}05.$$

Expandindo os quadrados e simplificando:

$$12.525V^2-17.713{,}4V-37.575=0.$$

A solução positiva dessa equação é aproximadamente

$$\boxed{V\approx2{,}58\,\text{m/s}}.$$

4. Determinação do seno do ângulo

Pela figura, o projétil é lançado para cima e para a esquerda. Portanto, o seno do ângulo formado com a vertical é o módulo da componente horizontal da velocidade dividido pelo módulo da velocidade do projétil:

$$\sin\theta= \frac{|v_{px}|} {\sqrt{v_{px}^2+v_{py}^2}}.$$

Substituindo as expressões obtidas pela conservação da quantidade de movimento e o valor aproximado de $V$, encontramos

$$\sin\theta\approx0{,}411.$$

Comparando com as alternativas, temos

$$\frac{-1+\sqrt{7}}{4}\approx0{,}411.$$

Assim, a alternativa indicada é (C):

$$\boxed{\sin\theta=\frac{-1+\sqrt{7}}{4}}.$$

A questão deveria ser anulada, dado que foi pedido o valor exato do $\operatorname{sen}\theta$.

🧩 Exercício 27 EFOMMDifícil

Um sistema é composto por três corpos celestes esféricos e homogêneos, todos com a mesma massa $M$, que realizam uma órbita circular única de raio $R$, estando sujeitos apenas às interações gravitacionais entre si.

As distâncias entre todos os corpos são iguais e se mantêm constantes ao longo do movimento. Considerando $G$ a constante gravitacional universal, quanto vale o módulo da velocidade de cada corpo?

1. Geometria do sistema

Como os três corpos possuem a mesma massa e as distâncias entre eles são iguais, eles ocupam os vértices de um triângulo equilátero, girando em torno do centro do triângulo.

A distância entre cada corpo e o centro da órbita é $R$. Assim, o lado do triângulo equilátero vale

$$\ell=\sqrt{3}R.$$

2. Força gravitacional resultante

Cada corpo sofre a atração gravitacional dos outros dois corpos. A intensidade de cada força gravitacional é

$$F_g=\frac{GM^2}{\ell^2}.$$

Como as duas forças formam entre si um ângulo de $60^\circ$, a intensidade da força resultante é

$$F_R=\sqrt{F_g^2+F_g^2+2F_g^2\cos60^\circ}.$$

Como $\cos60^\circ=\frac{1}{2}$,

$$F_R=\sqrt{3F_g^2}.$$

Portanto,

$$F_R=\sqrt{3}F_g.$$

Substituindo a expressão de $F_g$ e usando $\ell=\sqrt{3}R$:

$$F_R=\sqrt{3}\frac{GM^2}{(\sqrt{3}R)^2}.$$

Logo,

$$F_R=\frac{GM^2}{\sqrt{3}R^2}.$$

3. Aplicação da força centrípeta

A força gravitacional resultante fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular:

$$F_R=\frac{Mv^2}{R}.$$

Substituindo:

$$\frac{GM^2}{\sqrt{3}R^2}=\frac{Mv^2}{R}.$$

Cancelando $M$ e isolando $v^2$:

$$v^2=\frac{GM}{\sqrt{3}R}.$$

Portanto,

$$\boxed{v=\sqrt{\frac{GM}{\sqrt{3}R}}}.$$

Essa expressão também pode ser escrita como

$$v=\sqrt{\frac{\sqrt{3}GM}{3R}}.$$

Alternativa correta: (D).

🧩 Exercício 28 EFOMMMédio

Um bloco de $2{,}0\,\text{kg}$ de massa é solto de uma altura de $10\,\text{m}$ do solo. Na iminência de tocar o chão, sua velocidade era de $11\,\text{m/s}$ e um termômetro sensível ligado ao corpo acusou uma variação de temperatura de $0{,}1\,^\circ\text{C}$ originada pela ação da resistência do ar sobre o bloco.

Supondo que todo o calor produzido durante o processo tenha sido absorvido pelo bloco, determine o calor específico médio do corpo em $\text{J}/(\text{kg}\cdot{}^\circ\text{C})$.

Dado: $g=10\,\text{m/s}^2$.

1. Variação da energia mecânica

O bloco parte do repouso a uma altura de $10\,\text{m}$. Sua energia mecânica inicial é apenas potencial gravitacional:

$$E_{m,i}=mgh$$

Substituindo os valores:

$$E_{m,i}=2\cdot10\cdot10$$$$\boxed{E_{m,i}=200\,\text{J}}$$

Imediatamente antes de tocar o solo, sua energia mecânica é apenas cinética:

$$E_{m,f}=\frac{mv^2}{2}$$$$E_{m,f}=\frac{2\cdot11^2}{2}$$$$\boxed{E_{m,f}=121\,\text{J}}$$

2. Calor produzido pela resistência do ar

A energia mecânica dissipada pela resistência do ar é

$$Q=E_{m,i}-E_{m,f}$$$$Q=200-121$$

Portanto,

$$\boxed{Q=79\,\text{J}}$$

Como todo esse calor foi absorvido pelo bloco, ele provoca a variação de temperatura informada no enunciado.

3. Determinação do calor específico

A quantidade de calor absorvida é dada por

$$Q=mc\Delta T$$

Isolando o calor específico:

$$c=\frac{Q}{m\Delta T}$$

Substituindo os valores:

$$c=\frac{79}{2\cdot0{,}1}$$$$c=\frac{79}{0{,}2}$$

Logo,

$$\boxed{c=395\,\text{J}/(\text{kg}\cdot{}^\circ\text{C})}$$

Alternativa correta: (E).

🧩 Exercício 29 EFOMMMédio

Um cubo é feito de um material com $1/3$ da densidade da água. Esse objeto flutua com um volume submerso igual a $V_s$ quando colocado em um balde com água apoiado no chão. O sistema balde + água + cubo é colocado dentro de um elevador que se move para cima com aceleração de módulo igual a $g/2$.

Nessa situação, quanto vale o volume submerso?

1. Equilíbrio do cubo no elevador

Quando o elevador acelera para cima, tanto o cubo quanto a água estão sujeitos à mesma aceleração gravitacional efetiva. No referencial do elevador, podemos considerar uma gravidade efetiva dada por

$$g_{\text{ef}}=g+\frac{g}{2}=\frac{3g}{2}.$$

A força de empuxo sobre o cubo é

$$E=\rho_{\text{água}}g_{\text{ef}}V_{\text{sub}}.$$

O peso efetivo do cubo é

$$P=\rho_{\text{cubo}}g_{\text{ef}}V_{\text{cubo}}.$$

Como o cubo flutua em equilíbrio relativo ao elevador, o empuxo iguala o peso efetivo:

$$\rho_{\text{água}}g_{\text{ef}}V_{\text{sub}} = \rho_{\text{cubo}}g_{\text{ef}}V_{\text{cubo}}.$$

Cancelando a gravidade efetiva:

$$V_{\text{sub}} = \frac{\rho_{\text{cubo}}}{\rho_{\text{água}}} V_{\text{cubo}}.$$

2. Comparação com a situação inicial

Como a densidade do cubo corresponde a um terço da densidade da água,

$$\rho_{\text{cubo}}=\frac{\rho_{\text{água}}}{3}.$$

Portanto,

$$V_{\text{sub}}=\frac{V_{\text{cubo}}}{3}.$$

Na situação inicial, o volume submerso era $V_s$. Logo,

$$V_s=\frac{V_{\text{cubo}}}{3}.$$

Assim, mesmo com a aceleração do elevador, a fração submersa permanece a mesma:

$$\boxed{V_{\text{sub}}=V_s}$$

A aceleração altera o empuxo e o peso na mesma proporção, de modo que a condição de flutuação não muda.

Alternativa correta: (C).

🧩 Exercício 30 EFOMMMédio

Considere uma embarcação com massa total de $10.250\,\text{kg}$, flutuando em água salgada, com densidade de $1.025\,\text{kg/m}^3$, e que esteja com seu volume submerso máximo permitido. Se essa embarcação passar por um trecho de água doce com densidade de $1.000\,\text{kg/m}^3$, sofrerá um aumento do volume submerso.

Qual quantidade de massa deve ser rejeitada do navio, para que o volume submerso da embarcação retorne ao valor inicial?

1. Determinação do volume inicialmente submerso

Na água salgada, a embarcação está flutuando em equilíbrio. Portanto, seu peso é igual ao empuxo:

$$mg=\rho_s gV_s$$

Cancelando a aceleração da gravidade:

$$m=\rho_s V_s$$

Isolando o volume submerso:

$$V_s=\frac{m}{\rho_s}$$

Substituindo os valores:

$$V_s=\frac{10.250}{1.025}$$$$\boxed{V_s=10\,\text{m}^3}$$

2. Massa que a embarcação pode sustentar em água doce com o mesmo volume submerso

Para que o volume submerso retorne ao valor inicial, o empuxo na água doce deve equilibrar o novo peso da embarcação:

$$(m-m_r)g=\rho_d gV_s$$

Em que $m_r$ é a massa rejeitada pelo navio.

Cancelando $g$ e isolando $m_r$:

$$m_r=m-\rho_dV_s$$

Substituindo os valores:

$$m_r=10.250-1.000\cdot10$$$$m_r=10.250-10.000$$

Logo,

$$\boxed{m_r=250\,\text{kg}}$$

Portanto, a embarcação deve rejeitar uma massa de $250\,\text{kg}$ para que o volume submerso retorne ao valor inicial.

Alternativa correta: (C).

🧩 Exercício 31 EFOMMMédio

Considere um tubo cilíndrico feito com um material de coeficiente de dilatação linear $\alpha$ com um líquido de coeficiente de dilatação volumétrica $\beta$.

Quanto vale a razão $\alpha/\beta$, para que, após um aquecimento do conjunto por $1^\circ\text{C}$, a altura do líquido dentro do cilindro seja mantida?

1. Condição para manter a altura do líquido

A altura do líquido no cilindro é dada por

$$h=\frac{V}{A},$$

em que $V$ é o volume do líquido e $A$ é a área da seção transversal interna do tubo.

Para que a altura permaneça constante após o aquecimento, o volume do líquido e a área da seção transversal devem sofrer a mesma variação relativa:

$$\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta A}{A}.$$

2. Dilatação do líquido

O líquido possui coeficiente de dilatação volumétrica $\beta$. Portanto,

$$\frac{\Delta V}{V}=\beta\Delta T.$$

3. Dilatação da seção transversal do tubo

O tubo possui coeficiente de dilatação linear $\alpha$. Como a seção transversal é circular, sua área é proporcional ao quadrado do raio:

$$A=\pi r^2.$$

A dilatação relativa da área é, aproximadamente,

$$\frac{\Delta A}{A}=2\alpha\Delta T.$$

4. Determinação da razão

Igualando as variações relativas:

$$\beta\Delta T=2\alpha\Delta T.$$

Cancelando $\Delta T$:

$$\beta=2\alpha.$$

Assim,

$$\boxed{\frac{\alpha}{\beta}=\frac{1}{2}}.$$

Portanto, a alternativa correta é (C).

🧩 Exercício 32 EFOMMMédio

Um chuveiro de $4400\,\text{W}$ — $220\,\text{V}$, para fornecer a mesma potência total em uma instalação residencial de $110\,\text{V}$, deve ter sua resistência interna associada a um resistor:

1. Determinação da resistência interna do chuveiro

A potência nominal do chuveiro é $4400\,\text{W}$, quando ligado à tensão de $220\,\text{V}$.

Utilizando a relação entre potência, tensão e resistência:

$$P=\frac{U^2}{R}$$

Isolando a resistência:

$$R=\frac{U^2}{P}$$

Substituindo os valores:

$$R=\frac{220^2}{4400}$$$$\boxed{R=11\,\Omega}$$

2. Determinação da resistência equivalente desejada

Para que o conjunto consuma $4400\,\text{W}$ quando ligado a uma rede de $110\,\text{V}$, sua resistência equivalente deve ser:

$$P=\frac{U^2}{R_{\text{eq}}}$$$$R_{\text{eq}}=\frac{U^2}{P}$$

Substituindo os valores:

$$R_{\text{eq}}=\frac{110^2}{4400}$$$$\boxed{R_{\text{eq}}=2{,}75\,\Omega}$$

3. Determinação da associação e do resistor adicional

Como a resistência equivalente desejada é menor que a resistência interna do chuveiro, o resistor adicional deve ser ligado em paralelo.

Para resistores em paralelo:

$$\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R_p}$$

Substituindo os valores:

$$\frac{1}{2{,}75}=\frac{1}{11}+\frac{1}{R_p}$$

Como $2{,}75=\frac{11}{4}$:

$$\frac{4}{11}=\frac{1}{11}+\frac{1}{R_p}$$

Logo,

$$\frac{1}{R_p}=\frac{4}{11}-\frac{1}{11}$$$$\frac{1}{R_p}=\frac{3}{11}$$

Portanto,

$$\boxed{R_p=\frac{11}{3}\approx3{,}7\,\Omega}$$

Assim, a resistência adicional deve ser ligada em paralelo, com valor aproximado de $3{,}7\,\Omega$.

Alternativa correta: (B).

🧩 Exercício 33 EFOMMMédio

Considere um fio com uma extremidade presa à parede e outra que suspende um bloco por meio de uma polia ideal. Nessa configuração, uma onda transversal se propaga pela corda com velocidade $v$.

Quando o bloco é mergulhado em água, conforme mostra a figura, e $\frac{3}{8}$ do seu volume fica submerso, a velocidade de propagação da onda na corda cai à metade do valor que tinha antes.

Obtenha a razão entre a densidade do bloco e a da água.

1. Relação entre a velocidade da onda e a tensão na corda

A velocidade de propagação de uma onda transversal em uma corda é dada por

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},$$

em que $T$ é a tensão na corda e $\mu$ é a densidade linear da corda.

Como a corda é a mesma antes e depois de o bloco ser mergulhado, $\mu$ permanece constante. Portanto,

$$\frac{v_2}{v_1}=\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}.$$

O enunciado informa que a velocidade final é metade da inicial:

$$v_2=\frac{v_1}{2}.$$

Logo,

$$\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$$$$\boxed{T_2=\frac{T_1}{4}}.$$

2. Tensão antes de mergulhar o bloco

Inicialmente, o bloco está suspenso no ar e em equilíbrio. Assim,

$$T_1=mg.$$

Como $m=\rho_b V$, temos

$$T_1=\rho_b Vg,$$

em que $\rho_b$ é a densidade do bloco e $V$ é seu volume total.

3. Tensão com o bloco parcialmente submerso

Quando o bloco fica submerso em água, surge o empuxo:

$$E=\rho_a gV_{\text{sub}},$$

em que $\rho_a$ é a densidade da água.

Como $\frac{3}{8}$ do volume fica submerso,

$$V_{\text{sub}}=\frac{3}{8}V.$$

Portanto,

$$E=\frac{3}{8}\rho_a Vg.$$

O equilíbrio vertical do bloco fornece

$$T_2+E=mg.$$

Assim,

$$T_2=\rho_b Vg-\frac{3}{8}\rho_a Vg.$$

4. Determinação da razão entre as densidades

Sabemos que $T_2=\frac{T_1}{4}$ e $T_1=\rho_b Vg$. Portanto,

$$\rho_b Vg-\frac{3}{8}\rho_a Vg =\frac{1}{4}\rho_b Vg.$$

Cancelando $Vg$:

$$\rho_b-\frac{3}{8}\rho_a=\frac{1}{4}\rho_b.$$

Reorganizando:

$$\frac{3}{4}\rho_b=\frac{3}{8}\rho_a.$$

Logo,

$$\boxed{\frac{\rho_b}{\rho_a}=\frac{1}{2}}.$$

Alternativa correta: (B).

🧩 Exercício 34 EFOMMMédio

Ao tocar-se a corda de um violão, cujas extremidades estão fixas, verificou-se, com auxílio de um aplicativo de celular, que, no modo que vibrou com $3$ ventres, foi emitido um som com $600\,\text{Hz}$ de frequência. O violonista, então, prendeu a corda com um dedo, diminuindo a distância entre as extremidades fixas, e verificou que, no modo de vibração com apenas $1$ ventre, foi emitido um som com $800\,\text{Hz}$.

Que fração do comprimento da corda vibrou quando o violonista a tocou pela segunda vez?

1. Frequência de vibração de uma corda fixa nas extremidades

Para uma corda com as duas extremidades fixas, a frequência do modo fundamental é dada por

$$f_1=\frac{v}{2L},$$

em que $v$ é a velocidade de propagação da onda na corda e $L$ é o comprimento vibrante.

No modo com $n$ ventres, a frequência é

$$f_n=n\frac{v}{2L}.$$

2. Primeira situação: três ventres

Na primeira situação, a corda vibra com $3$ ventres e frequência de $600\,\text{Hz}$. Logo,

$$600=3\frac{v}{2L}.$$

Assim, a frequência fundamental da corda original é

$$f_1=\frac{600}{3}=200\,\text{Hz}.$$

Portanto,

$$\frac{v}{2L}=200.$$

3. Segunda situação: um ventre

Na segunda situação, o comprimento vibrante diminui para $L'$ e a corda vibra no modo fundamental, com frequência de $800\,\text{Hz}$:

$$800=\frac{v}{2L'}.$$

Dividindo essa equação pela expressão da frequência fundamental original:

$$\frac{800}{200}=\frac{L}{L'}.$$

Logo,

$$4=\frac{L}{L'}.$$

Portanto,

$$\boxed{\frac{L'}{L}=\frac{1}{4}}.$$

A fração do comprimento original que vibrou na segunda situação é $\frac{1}{4}$.

Alternativa correta: (C).

🧩 Exercício 35 EFOMMMédio

Considere duas barras homogêneas com a mesma área $A$ de seção transversal, comprimentos $l_1=1\,\text{m}$ e $l_2=2\,\text{m}$ e condutividades térmicas $k_1=300\,\text{W/(m}\cdot\text{K)}$ e $k_2=200\,\text{W/(m}\cdot\text{K)}$, respectivamente, conforme mostra a figura abaixo.

Considerando que o lado direito está em equilíbrio térmico, à temperatura $T_1=0^\circ\text{C}$, que o lado esquerdo está a $T_2=100^\circ\text{C}$, que o fluxo de calor se dá em regime estacionário e que não há trocas de calor ao longo da superfície lateral das barras, determine a temperatura $T_0$ na junção das barras.

1. Fluxo de calor em regime estacionário

Como as barras estão em série e o regime é estacionário, o fluxo de calor que atravessa a primeira barra é igual ao que atravessa a segunda.

Pela lei de Fourier, o módulo da taxa de transferência de calor é

$$\frac{Q}{\Delta t}=kA\frac{\Delta T}{l}.$$

Assim, para as duas barras:

$$k_1A\frac{T_0-T_1}{l_1} = k_2A\frac{T_2-T_0}{l_2}.$$

2. Substituição dos valores

Substituindo os dados do enunciado:

$$300A\frac{T_0-0}{1} = 200A\frac{100-T_0}{2}.$$

Cancelando a área $A$:

$$300T_0=100(100-T_0).$$

Desenvolvendo:

$$300T_0=10000-100T_0.$$$$400T_0=10000.$$

Portanto,

$$\boxed{T_0=25^\circ\text{C}}.$$

Alternativa correta: (C).

🧩 Exercício 36 EFOMMFácil

Considere uma partícula carregada, com carga $q$ e velocidade de módulo constante igual a $v$ e paralela a um campo magnético uniforme de intensidade $B$.

A partícula descreverá um movimento:

1. Força magnética sobre uma partícula carregada

A força magnética que atua sobre uma partícula de carga $q$ que se move com velocidade $\vec{v}$ em um campo magnético $\vec{B}$ é dada por

$$F_m=|q|vB\sin\theta,$$

em que $\theta$ é o ângulo entre a velocidade e o campo magnético.

2. Análise da situação

Como a velocidade é paralela ao campo magnético, o ângulo entre os vetores é

$$\theta=0^\circ.$$

Portanto,

$$F_m=|q|vB\sin0^\circ.$$

Como $\sin0^\circ=0$, temos

$$\boxed{F_m=0}.$$

Não havendo força magnética, a partícula não sofre aceleração magnética. Como sua velocidade tem módulo constante e direção fixa, ela realiza movimento retilíneo uniforme.

Alternativa correta: (C).

🧩 Exercício 37 EFOMMFácil

Com relação ao campo magnético gerado por um ímã, analise os itens abaixo e marque a opção correta.

I – Ao se quebrar um ímã, cada pedaço irá formar um ímã de dois polos cada um.

II – Os polos de um ímã estão localizados exatamente nos seus extremos.

III – A força de atração entre dois ímãs é maior quanto maior a sua distância.

IV – Enquanto fora do ímã o sentido das linhas de campo é do polo norte para o polo sul, dentro do ímã o sentido é do polo sul para o polo norte.

Das afirmações feitas, pode-se dizer que:

Análise das afirmações

I – Verdadeira.

Ao quebrar um ímã, cada fragmento continua apresentando dois polos magnéticos: norte e sul. Não se obtém um polo magnético isolado por meio desse processo.

II – Falsa.

Os polos magnéticos não precisam estar localizados exatamente nos extremos geométricos do ímã. Sua posição depende da forma e da distribuição da magnetização do material.

III – Falsa.

A força magnética entre ímãs não aumenta com a distância. Em condições usuais, a interação magnética diminui à medida que os ímãs se afastam.

IV – Verdadeira.

As linhas de campo magnético formam curvas fechadas. Fora do ímã, orientam-se do polo norte para o polo sul; dentro do ímã, retornam do polo sul para o polo norte.

Portanto, somente as afirmações I e IV são verdadeiras.

Alternativa correta: (B).

🧩 Exercício 38 EFOMMMédio

Um capacitor de placas paralelas de área $A$, separadas por uma distância $d$ e com o espaço entre elas preenchido por ar, ao ser submetido a uma diferença de potencial $V$, suporta uma carga máxima $Q$. Se for depositado no interior do capacitor, sobre uma das placas, um material de constante dielétrica $K$, área $A$ e espessura $0{,}5d$, a nova carga máxima acumulada pelo capacitor será:

1. Capacitância inicial

Para um capacitor de placas paralelas preenchido por ar, a capacitância inicial é

$$C_0=\frac{\varepsilon_0 A}{d}.$$

Como a diferença de potencial aplicada é $V$, a carga máxima inicial é

$$Q=C_0V.$$

2. Capacitância com o dielétrico

O material dielétrico ocupa toda a área das placas, mas apenas metade da distância entre elas. Portanto, temos duas camadas entre as placas: uma de ar com espessura $d/2$ e outra de dielétrico com espessura $d/2$.

Essas camadas equivalem a dois capacitores associados em série.

Para a camada de ar:

$$C_1=\frac{\varepsilon_0 A}{d/2}$$$$C_1=\frac{2\varepsilon_0 A}{d}.$$

Para a camada dielétrica:

$$C_2=\frac{K\varepsilon_0 A}{d/2}$$$$C_2=\frac{2K\varepsilon_0 A}{d}.$$

Na associação em série:

$$\frac{1}{C_{\text{eq}}} =\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}.$$

Substituindo:

$$\frac{1}{C_{\text{eq}}} =\frac{d}{2\varepsilon_0 A} +\frac{d}{2K\varepsilon_0 A}.$$

Simplificando:

$$C_{\text{eq}} =\frac{2K\varepsilon_0 A}{(K+1)d}.$$

Como $C_0=\frac{\varepsilon_0 A}{d}$, podemos escrever

$$C_{\text{eq}}=\frac{2K}{K+1}C_0.$$

3. Nova carga máxima

Mantendo a mesma diferença de potencial $V$, a nova carga será

$$Q'=C_{\text{eq}}V.$$

Substituindo a capacitância equivalente:

$$Q'=\frac{2K}{K+1}C_0V.$$

Como $C_0V=Q$, obtemos

$$\boxed{Q'=\frac{2K}{K+1}Q}.$$

Portanto, a alternativa correta é (E).

🧩 Exercício 39 EFOMMDifícil

Considere duas barras metálicas fixas separadas por uma distância $d=1{,}0\,\text{m}$. Essas barras determinam um plano que forma um ângulo de $60^\circ$ com a horizontal. Uma outra barra metálica de massa $320\,\text{g}$ pode deslocar-se sobre as barras fixas, existindo entre esta barra e as barras fixas um coeficiente de atrito cinético $\mu=0{,}5$. As barras fixas são ligadas por um condutor de resistência $R$ e a resistência de todas as barras é desprezível. O campo magnético $B$ tem intensidade $1\,\text{T}$ e é perpendicular ao plano das barras, conforme mostra a figura.

Após ser abandonada, depois de algum tempo, a barra atinge uma velocidade limite de $2{,}0\,\text{m/s}$. Determine a resistência $R$.

Dados:

$$g=10\,\text{m/s}^2$$$$\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\cos60^\circ=\frac{1}{2}$$

1. Forças atuantes na barra móvel

A barra desliza pelo plano inclinado sob a ação da componente do peso paralela ao plano, do atrito cinético e da força magnética.

Na direção paralela ao plano, a componente do peso é

$$P_{\parallel}=mg\sin\theta.$$

A força normal total é

$$N=mg\cos\theta.$$

Portanto, a força de atrito cinético tem módulo

$$F_{\text{at}}=\mu mg\cos\theta.$$

2. Força eletromotriz induzida

Como a barra se desloca em um campo magnético uniforme perpendicular ao plano, surge uma força eletromotriz induzida de módulo

$$\mathcal{E}=Bdv.$$

A corrente induzida no circuito é

$$I=\frac{\mathcal{E}}{R}.$$

Logo,

$$I=\frac{Bdv}{R}.$$

A força magnética que atua sobre a barra móvel tem módulo

$$F_B=BId.$$

Substituindo a corrente:

$$F_B=B\left(\frac{Bdv}{R}\right)d.$$

Assim,

$$\boxed{F_B=\frac{B^2d^2v}{R}}.$$

Essa força se opõe ao movimento da barra, conforme a lei de Lenz.

3. Condição de velocidade limite

Quando a barra atinge a velocidade limite, sua aceleração é nula. Portanto, a resultante das forças paralelas ao plano também é nula:

$$mg\sin\theta = \mu mg\cos\theta+\frac{B^2d^2v}{R}.$$

Isolando a resistência:

$$R=\frac{B^2d^2v}{mg\sin\theta-\mu mg\cos\theta}.$$

4. Substituição dos valores

Usando $m=0{,}320\,\text{kg}$, $B=1\,\text{T}$, $d=1\,\text{m}$, $v=2\,\text{m/s}$ e $\mu=0{,}5$:

$$R= \frac{1^2\cdot1^2\cdot2} {0{,}320\cdot10\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-0{,}5\cdot\frac{1}{2}\right)}.$$

Simplificando:

$$R= \frac{2}{3{,}2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac14\right)}.$$

Numericamente,

$$R\approx\frac{2}{1{,}97}$$$$R\approx1{,}02\,\Omega.$$

Esse resultado não corresponde a nenhuma das alternativas.

🧩 Exercício 40 EFOMMDifícil

Considere duas máquinas térmicas ideais, 1 e 2, que operam, respectivamente, segundo os ciclos de Carnot e Diesel, conforme mostram as figuras abaixo.

A máquina 1 opera entre as temperaturas $T_Q=500\,\text{K}$ e $T_F=200\,\text{K}$ e rejeita $100\,\text{kJ}$ de calor. A máquina 2 (Diesel) realiza o mesmo trabalho total que a máquina 1; no entanto, $20\%$ desse trabalho é realizado durante a expansão isobárica $1\rightarrow2$, em que o volume do cilindro do motor varia de $1{,}0\times10^{-1}\,\text{m}^3$ para $3{,}0\times10^{-1}\,\text{m}^3$.

Qual é a pressão da mistura no cilindro durante esse processo isobárico?

1. Trabalho realizado pela máquina de Carnot

A máquina 1 opera entre as temperaturas quente e fria:

$$T_Q=500\,\text{K}$$$$T_F=200\,\text{K}$$

O rendimento de uma máquina de Carnot é

$$\eta_1=1-\frac{T_F}{T_Q}$$

Substituindo os valores:

$$\eta_1=1-\frac{200}{500}$$$$\boxed{\eta_1=0{,}6}$$

A máquina rejeita $Q_F=100\,\text{kJ}$. Como

$$\eta_1=\frac{W_1}{Q_Q}$$

e

$$Q_F=Q_Q-W_1,$$

temos

$$Q_F=(1-\eta_1)Q_Q.$$

Logo,

$$100=0{,}4Q_Q$$$$Q_Q=250\,\text{kJ}.$$

Portanto, o trabalho realizado pela máquina 1 é

$$W_1=\eta_1Q_Q$$$$W_1=0{,}6\cdot250$$$$\boxed{W_1=150\,\text{kJ}}.$$

2. Trabalho realizado pela máquina Diesel

O enunciado informa que a máquina 2 realiza o mesmo trabalho total que a máquina 1. Assim,

$$W_2=150\,\text{kJ}.$$

Durante a expansão isobárica $1\rightarrow2$, são realizados $20\%$ desse trabalho:

$$W_{12}=0{,}20W_2$$$$W_{12}=0{,}20\cdot150$$$$\boxed{W_{12}=30\,\text{kJ}}.$$

3. Pressão durante a expansão isobárica

Em um processo isobárico, o trabalho é dado por

$$W_{12}=P\Delta V.$$

A variação de volume é

$$\Delta V=V_2-V_1$$$$\Delta V=3{,}0\times10^{-1}-1{,}0\times10^{-1}$$$$\boxed{\Delta V=0{,}2\,\text{m}^3}.$$

Isolando a pressão:

$$P=\frac{W_{12}}{\Delta V}.$$

Convertendo o trabalho para joules:

$$P=\frac{30\,000}{0{,}2}$$

Portanto,

$$\boxed{P=1{,}5\times10^5\,\text{Pa}}.$$

Alternativa correta: (A).