Prova de Matemática do vestibular do ITA 2027 resolvida.

Atenção: as respostas apresentadas nesta página são um gabarito extraoficial, elaborado a partir da resolução das questões. O gabarito oficial do ITA será divulgado posteriormente pela instituição.

🧩 Exercício 1 ITA 2027Médio

Sabe-se que a área de uma elipse é proporcional ao produto das medidas de seus eixos maior e menor. Considere duas elipses, $E_1$ e $E_2$, ambas com os mesmos focos.

Sabe-se que a excentricidade de $E_1$ é duas vezes a de $E_2$ e que a área de $E_2$ é seis vezes a de $E_1$. O valor da excentricidade de $E_1$ é:

1. Relação entre a excentricidade e os focos

Considere os semieixos maior e menor da elipse $E_1$ como $a_1$ e $b_1$, respectivamente.

Para a elipse $E_2$, sejam $a_2$ e $b_2$ seus semieixos.

Como as duas elipses possuem os mesmos focos, a distância do centro a cada foco é a mesma. Denotando essa distância por $c$, temos

$$c^2=a_1^2-b_1^2$$

e

$$c^2=a_2^2-b_2^2.$$

A excentricidade de uma elipse é dada por

$$e=\frac{c}{a}.$$

O enunciado informa que a excentricidade de $E_1$ é duas vezes a de $E_2$:

$$e_1=2e_2.$$

Portanto,

$$\frac{c}{a_1} = 2\frac{c}{a_2}.$$

Como $c\neq0$, podemos simplificar:

$$\frac{1}{a_1} = \frac{2}{a_2}.$$

Logo,

$$\boxed{a_2=2a_1}.$$

2. Utilizando a relação entre as áreas

A área de uma elipse é

$$A=\pi ab.$$

Como o enunciado afirma que a área de $E_2$ é seis vezes a área de $E_1$, temos

$$A_2=6A_1.$$

Assim,

$$\pi a_2b_2 = 6\pi a_1b_1.$$

Substituindo $a_2=2a_1$:

$$\pi(2a_1)b_2 = 6\pi a_1b_1.$$

Cancelando $\pi a_1$:

$$2b_2=6b_1.$$

Portanto,

$$\boxed{b_2=3b_1}.$$

3. Usando os mesmos focos

Como as duas elipses possuem os mesmos focos, o valor de $c$ é o mesmo.

Para $E_1$:

$$c^2=a_1^2-b_1^2.$$

Para $E_2$:

$$c^2=a_2^2-b_2^2.$$

Substituindo

$$a_2=2a_1$$

e

$$b_2=3b_1,$$

temos

$$c^2=(2a_1)^2-(3b_1)^2.$$

Logo,

$$c^2=4a_1^2-9b_1^2.$$

Como também

$$c^2=a_1^2-b_1^2,$$

podemos igualar:

$$a_1^2-b_1^2 = 4a_1^2-9b_1^2.$$

Reorganizando:

$$8b_1^2=3a_1^2.$$

Portanto,

$$\frac{b_1^2}{a_1^2} = \frac38.$$

4. Determinando a excentricidade de $E_1$

Sabemos que

$$e_1=\frac{c}{a_1}.$$

Como

$$c^2=a_1^2-b_1^2,$$

temos

$$e_1^2 = \frac{c^2}{a_1^2} = \frac{a_1^2-b_1^2}{a_1^2}.$$

Assim,

$$e_1^2 = 1-\frac{b_1^2}{a_1^2}.$$

Substituindo o resultado obtido:

$$e_1^2 = 1-\frac38.$$

Logo,

$$e_1^2=\frac58.$$

Como a excentricidade é positiva,

$$e_1=\sqrt{\frac58}.$$

Portanto,

$$e_1 = \frac{\sqrt{10}}{4}.$$

Resposta

$$\boxed{e_1=\frac{\sqrt{10}}{4}}$$

Alternativa E.

🧩 Exercício 2 ITA 2027Médio

De um ponto $E$ pertencente ao lado $AB$ de um quadrado $ABCD$ de lado medindo $10$, é traçada uma reta $r$, paralela à diagonal $AC$, que intercepta o lado $BC$ no ponto $F$.

Se a distância entre a reta $r$ e a diagonal $AC$ é $5$, então o raio da circunferência $C_1$ inscrita no triângulo $BEF$ é:

1. Identificando a posição de $E$

Considere um sistema de coordenadas com

$$A=(0,0), \qquad B=(10,0), \qquad C=(10,10).$$

A diagonal $AC$ possui equação

$$y=x.$$

Como a reta $r$ é paralela à diagonal $AC$, ela possui coeficiente angular $1$.

Como $E$ pertence ao lado $AB$, podemos escrever

$$E=(e,0).$$

Assim, a reta $r$, passando por $E$, possui equação

$$y=x-e.$$

Portanto, as retas são

$$AC:\quad y=x$$

e

$$r:\quad y=x-e.$$

---

2. Utilizando a distância entre as retas

Escrevendo as duas retas na forma geral:

$$AC:\quad x-y=0$$

e

$$r:\quad x-y-e=0.$$

A distância entre duas retas paralelas

$$ax+by+c_1=0$$

e

$$ax+by+c_2=0$$

é dada por

$$d= \frac{|c_2-c_1|} {\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Logo,

$$d(AC,r) = \frac{e}{\sqrt2}.$$

O enunciado informa que essa distância é $5$:

$$\frac{e}{\sqrt2}=5.$$

Portanto,

$$e=5\sqrt2.$$

Assim,

$$\boxed{AE=5\sqrt2}.$$

Como $AB=10$, temos

$$BE=10-5\sqrt2.$$

Colocando $5$ em evidência:

$$\boxed{ BE=5(2-\sqrt2) }.$$

---

3. Identificando o triângulo $BEF$

Como $EF$ é paralela à diagonal $AC$, ela forma um ângulo de $45^\circ$ com os lados do quadrado.

Além disso,

$$BE\perp BF.$$

Portanto, o triângulo $BEF$ é um triângulo retângulo isósceles.

Assim,

$$BE=BF.$$

Logo,

$$BE=BF=5(2-\sqrt2).$$

A hipotenusa é

$$EF=BE\sqrt2.$$

Portanto,

$$EF=5(2-\sqrt2)\sqrt2.$$

---

4. Calculando o raio da circunferência inscrita

Para um triângulo retângulo com catetos $a$ e $b$ e hipotenusa $c$, o raio da circunferência inscrita é

$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$

Como neste caso

$$a=b=BE$$

e

$$c=BE\sqrt2,$$

temos

$$r= \frac{BE+BE-BE\sqrt2}{2}.$$

Colocando $BE$ em evidência:

$$r= \frac{BE(2-\sqrt2)}{2}.$$

Substituindo

$$BE=5(2-\sqrt2),$$

obtemos

$$r= \frac{5(2-\sqrt2)(2-\sqrt2)}{2}.$$

Portanto,

$$\boxed{ r=\frac52(2-\sqrt2)^2 }.$$

Resposta

Alternativa D) $\frac52(2-\sqrt2)^2$.

🧩 Exercício 3 ITA 2027Médio

Seja $ABC$ um triângulo no plano cartesiano com vértices

$$A=(0,0), \qquad B=(2,4)$$

e $C$, o qual pertence à circunferência de raio $2$ e centro $(4,0)$. A maior área possível para o triângulo $ABC$ é:

1. Interpretando a área do triângulo

Tomando $AB$ como base, a área do triângulo é

$$A_{\triangle ABC} = \frac{AB\cdot h}{2},$$

em que $h$ é a distância do ponto $C$ à reta que contém o segmento $AB$.

Como $A$ e $B$ são fixos, o comprimento $AB$ é constante.

Portanto, para maximizar a área, precisamos maximizar a distância de $C$ à reta $AB$.

---

2. Determinando a reta $AB$

A reta passa por

$$A=(0,0)$$

e

$$B=(2,4).$$

Seu coeficiente angular é

$$m=\frac{4-0}{2-0}=2.$$

Logo, sua equação é

$$y=2x.$$

Ou, na forma geral,

$$\boxed{2x-y=0}.$$

---

3. Distância do centro da circunferência à reta $AB$

A circunferência possui centro

$$O=(4,0)$$

e raio

$$r=2.$$

A distância do centro $O$ à reta $AB$ é

$$d(O,AB) = \frac{|2(4)-0|} {\sqrt{2^2+(-1)^2}}.$$

Assim,

$$d(O,AB) = \frac{8}{\sqrt5}.$$

---

4. Maior distância de $C$ à reta $AB$

O ponto $C$ pertence à circunferência de centro $O$ e raio $2$.

O ponto da circunferência que está mais distante da reta $AB$ encontra-se na direção perpendicular à reta, no lado oposto à reta em relação ao centro.

Assim, a maior distância possível de $C$ à reta $AB$ é

$$h_{\max} = d(O,AB)+2.$$

Portanto,

$$h_{\max} = \frac{8}{\sqrt5}+2.$$

---

5. Calculando o comprimento de $AB$

Temos

$$AB = \sqrt{(2-0)^2+(4-0)^2}.$$

Logo,

$$AB = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt5.$$

---

6. Calculando a área máxima

A área máxima é

$$A_{\max} = \frac{AB\cdot h_{\max}}{2}.$$

Substituindo:

$$A_{\max} = \frac{2\sqrt5}{2} \left( 2+\frac{8}{\sqrt5} \right).$$

Assim,

$$A_{\max} = \sqrt5 \left( 2+\frac{8}{\sqrt5} \right).$$

Distribuindo:

$$A_{\max} = 2\sqrt5+8.$$

Portanto,

$$\boxed{ A_{\max}=8+2\sqrt5 }.$$

Resposta

Alternativa C) $8+2\sqrt5$.

🧩 Exercício 4 ITAMédio

Considere as afirmações abaixo:

I. Sejam $A,B\in M_n(\mathbb{R})$, com $A$ invertível, $A^t=A^{-1}$ e $B$ simétrica. Então,

$$A(I_n-BA)^t=A-B.$$

II. Sejam $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ matrizes que comutam. Se

$$A^2=B^2,$$

então $A=B$ ou $A=-B$.

III. Para quaisquer números naturais $n$ e $m$, existem matrizes $A\in M_{n,m}(\mathbb{R})$ e $B\in M_{m,n}(\mathbb{R})$ tais que $AB$ é invertível.

É (São) VERDADEIRA(S):

Afirmação I

Temos

$$A(I_n-BA)^t.$$

Pela propriedade da transposta de uma diferença,

$$(I_n-BA)^t = I_n-(BA)^t.$$

Como

$$(BA)^t=A^tB^t,$$

e $B$ é simétrica, temos

$$B^t=B.$$

Além disso,

$$A^t=A^{-1}.$$

Portanto,

$$(I_n-BA)^t = I_n-A^{-1}B.$$

Multiplicando por $A$:

$$A(I_n-BA)^t = A(I_n-A^{-1}B).$$

Distribuindo:

$$A(I_n-BA)^t = A-AA^{-1}B.$$

Como $A$ é invertível,

$$AA^{-1}=I_n.$$

Logo,

$$A(I_n-BA)^t = A-B.$$

Portanto, a afirmação I é verdadeira.

---

Afirmação II

A afirmação diz que, se $A$ e $B$ comutam e

$$A^2=B^2,$$

então necessariamente

$$A=B$$

ou

$$A=-B.$$

Isso é falso para matrizes.

Podemos construir um contraexemplo:

$$A= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&2 \end{bmatrix}$$

e

$$B= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-2 \end{bmatrix}.$$

Como ambas são matrizes diagonais, elas comutam:

$$AB=BA.$$

Além disso,

$$A^2= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&4 \end{bmatrix}$$

e

$$B^2= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&4 \end{bmatrix}.$$

Logo,

$$A^2=B^2.$$

Entretanto,

$$A\neq B$$

e

$$A\neq-B.$$

Portanto, a afirmação II é falsa.

---

Afirmação III

Temos

$$A\in M_{n,m}(\mathbb{R})$$

e

$$B\in M_{m,n}(\mathbb{R}).$$

Consequentemente,

$$AB\in M_n(\mathbb{R}).$$

Para que $AB$ seja invertível, é necessário que

$$\operatorname{rank}(AB)=n.$$

Porém,

$$\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B)\} \leq m.$$

Assim, para $AB$ ser invertível, necessariamente devemos ter

$$n\leq m.$$

Mas a afirmação diz que isso deve ser possível para quaisquer $n$ e $m$.

Por exemplo, se

$$n=2 \qquad\text{e}\qquad m=1,$$

temos

$$A\in M_{2,1}(\mathbb{R})$$

e

$$B\in M_{1,2}(\mathbb{R}).$$

Nesse caso,

$$\operatorname{rank}(AB)\leq1,$$

enquanto uma matriz $2\times2$ invertível precisa ter posto $2$.

Portanto, $AB$ não pode ser invertível.

Logo, a afirmação III é falsa.

---

Conclusão

Temos:

$$\boxed{\text{I: verdadeira}}$$$$\boxed{\text{II: falsa}}$$$$\boxed{\text{III: falsa}}$$

Portanto, apenas a afirmação I é verdadeira.

$$\boxed{\text{Alternativa A}}$$

🧩 Exercício 5 ITA 2027Médio

Três jogadores disputam um jogo, arremessando moedas. O jogador $A$ arremessa uma moeda repetidas vezes até que obtenha cara, recebendo um ponto por lançamento. O jogador $B$ joga três moedas e recebe um ponto por cada coroa. O jogador $C$ joga uma moeda e recebe três pontos se obtiver coroa e zero caso contrário.

Considere as seguintes afirmações:

I. A probabilidade de $A$ fazer mais pontos que $B$ é maior que $50\%$.

II. A probabilidade de empate entre $A$ e $B$ é maior que $25\%$.

III. A probabilidade de $B$ fazer mais pontos que $C$ é maior que $50\%$.

É (São) VERDADEIRA(S):

1. Pontuação do jogador $A$

O jogador $A$ lança a moeda até aparecer a primeira cara.

Se a primeira cara aparecer no primeiro lançamento, $A$ faz $1$ ponto.

Se aparecer coroa e depois cara, $A$ faz $2$ pontos.

Se aparecerem duas coroas e depois cara, $A$ faz $3$ pontos, e assim por diante.

Portanto,

$$P(A=k)=\left(\frac12\right)^k, \qquad k=1,2,3,\ldots$$

pois são necessárias $k-1$ coroas seguidas e depois uma cara.

Assim,

$$P(A=1)=\frac12,$$$$P(A=2)=\frac14,$$$$P(A=3)=\frac18,$$

e

$$P(A=4)=\frac1{16}.$$

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2. Pontuação do jogador $B$

O jogador $B$ lança três moedas e recebe um ponto por cada coroa.

Portanto, sua pontuação pode ser $0$, $1$, $2$ ou $3$.

Temos:

$$P(B=0)=\frac18,$$$$P(B=1)=\frac38,$$$$P(B=2)=\frac38,$$

e

$$P(B=3)=\frac18.$$

---

3. Analisando a afirmação I

Queremos calcular

$$P(A>B).$$

Condicionando pela pontuação de $B$:

$$P(A>B) = \sum_{k=0}^{3}P(B=k)P(A>k).$$

Para $k=0$, temos

$$P(A>0)=1.$$

Para $k=1$:

$$P(A>1)=\frac12.$$

Para $k=2$:

$$P(A>2)=\frac14.$$

Para $k=3$:

$$P(A>3)=\frac18.$$

Logo,

$$P(A>B) = \frac18(1) + \frac38\left(\frac12\right) + \frac38\left(\frac14\right) + \frac18\left(\frac18\right).$$

Assim,

$$P(A>B) = \frac18+\frac3{16}+\frac3{32}+\frac1{64}.$$

Colocando tudo sobre $64$:

$$P(A>B) = \frac8{64} + \frac{12}{64} + \frac6{64} + \frac1{64}.$$

Portanto,

$$P(A>B)=\frac{27}{64}.$$

Como

$$\frac{27}{64}<\frac12,$$

a afirmação I é falsa.

---

4. Analisando a afirmação II

Agora queremos a probabilidade de empate:

$$P(A=B).$$

Como $B$ pode assumir apenas os valores $0$, $1$, $2$ e $3$, e $A$ sempre faz pelo menos $1$ ponto, temos

$$P(A=B) = P(A=1,B=1) + P(A=2,B=2) + P(A=3,B=3).$$

Calculando:

$$P(A=B) = \frac12\cdot\frac38 + \frac14\cdot\frac38 + \frac18\cdot\frac18.$$

Logo,

$$P(A=B) = \frac3{16} + \frac3{32} + \frac1{64}.$$

Portanto,

$$P(A=B) = \frac{12+6+1}{64} = \frac{19}{64}.$$

Como

$$\frac{19}{64}<\frac14,$$

a afirmação II é falsa.

---

5. Analisando a afirmação III

O jogador $C$ recebe:

• $3$ pontos se obtiver coroa;
• $0$ pontos se obtiver cara.

Portanto,

$$P(C=0)=\frac12$$

e

$$P(C=3)=\frac12.$$

Para que $B>C$, necessariamente precisamos que $C=0$, pois $B$ nunca pode ultrapassar $3$ pontos.

Se $C=0$, basta que $B$ faça pelo menos $1$ ponto.

Assim,

$$P(B>C) = P(C=0)P(B>0).$$

Como

$$P(B=0)=\frac18,$$

temos

$$P(B>0)=1-\frac18=\frac78.$$

Logo,

$$P(B>C) = \frac12\cdot\frac78 = \frac7{16}.$$

Como

$$\frac7{16}<\frac12,$$

a afirmação III é falsa.

---

6. Conclusão

Obtivemos:

$$\boxed{\text{I: falsa}}$$$$\boxed{\text{II: falsa}}$$$$\boxed{\text{III: falsa}}$$

Portanto, nenhuma das afirmações é verdadeira.

$$\boxed{\text{Alternativa A}}$$

🧩 Exercício 6 ITA 2027Médio

Sejam $m,n\in\mathbb{N}$,

$$z= \left( \frac34+\frac{\sqrt3}{4}i \right)^m$$

e

$$w= \left( -\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt6}{2}i \right)^n.$$

Sabendo que

$$|z|=\frac{81}{256} \qquad\text{e}\qquad |w|=16,$$

então um argumento de $zw$ é igual a:

1. Determinando $m$

Considere o número complexo

$$z_0= \frac34+\frac{\sqrt3}{4}i.$$

Seu módulo é

$$|z_0| = \sqrt{ \left(\frac34\right)^2+ \left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^2 }.$$

Assim,

$$|z_0| = \sqrt{ \frac9{16}+\frac3{16} } = \sqrt{\frac{12}{16}} = \frac{\sqrt3}{2}.$$

Como

$$z=z_0^m,$$

temos

$$|z| = \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^m.$$

Pelo enunciado,

$$\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^m = \frac{81}{256}.$$

Observe que

$$\frac{81}{256} = \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^8.$$

Logo,

$$\boxed{m=8}.$$

2. Determinando o argumento de $z$

Para o número complexo $z_0$, temos

$$\cos\theta = \frac{\frac34}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{\sqrt3}{2}$$

e

$$\operatorname{sen}\theta = \frac{\frac{\sqrt3}{4}}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac12.$$

Como $z_0$ está no primeiro quadrante,

$$\theta=\frac{\pi}{6}.$$

Portanto,

$$\arg(z) = m\frac{\pi}{6}.$$

Como $m=8$,

$$\arg(z) = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}.$$

Assim,

$$\boxed{\arg(z)=\frac{4\pi}{3}}.$$

3. Determinando $n$

Agora considere

$$w_0= -\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt6}{2}i.$$

Seu módulo é

$$|w_0| = \sqrt{ \left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt6}{2}\right)^2 }.$$

Então,

$$|w_0| = \sqrt{ \frac12+\frac64 } = \sqrt2.$$

Como

$$w=w_0^n,$$

temos

$$|w| = (\sqrt2)^n.$$

Pelo enunciado,

$$(\sqrt2)^n=16.$$

Como

$$16=2^4=(\sqrt2)^8,$$

obtemos

$$\boxed{n=8}.$$

4. Determinando o argumento de $w$

Para $w_0$, temos

$$\cos\theta = \frac{-\frac{\sqrt2}{2}}{\sqrt2} = -\frac12$$

e

$$\operatorname{sen}\theta = \frac{\frac{\sqrt6}{2}}{\sqrt2} = \frac{\sqrt3}{2}.$$

O número complexo está no segundo quadrante. Portanto,

$$\theta=\frac{2\pi}{3}.$$

Como $n=8$,

$$\arg(w) = 8\cdot\frac{2\pi}{3} = \frac{16\pi}{3}.$$

Reduzindo módulo $2\pi$:

$$\frac{16\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 4\pi.$$

Logo,

$$\arg(w)\equiv\frac{4\pi}{3}\pmod{2\pi}.$$

5. Determinando um argumento de $zw$

O argumento do produto é a soma dos argumentos:

$$\arg(zw) = \arg(z)+\arg(w).$$

Assim,

$$\arg(zw) = \frac{4\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}.$$

Subtraindo $2\pi$:

$$\frac{8\pi}{3}-2\pi = \frac{2\pi}{3}.$$

Portanto, um argumento de $zw$ é

$$\boxed{\frac{2\pi}{3}}.$$

Resposta

Alternativa C) $\frac{2\pi}{3}$.

🧩 Exercício 7 ITA 2027Médio

Determine todos os números $x\in\mathbb{R}$ que satisfazem a equação

$$\frac{\operatorname{sen}^2(x)} {1-\cos(x)} \cdot \tan\left(\frac{x}{2}\right) = 1-\operatorname{sen}(x)-\cos(x).$$

1. Analisando o domínio

A equação contém

$$1-\cos(x)$$

no denominador. Portanto,

$$1-\cos(x)\neq0.$$

Logo,

$$\cos(x)\neq1,$$

o que exclui

$$x=2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Além disso, aparece

$$\tan\left(\frac{x}{2}\right),$$

portanto ela deve estar definida.

2. Simplificando o primeiro fator

Utilizamos a identidade

$$\operatorname{sen}^2(x) = 1-\cos^2(x).$$

Fatorando:

$$\operatorname{sen}^2(x) = (1-\cos x)(1+\cos x).$$

Assim,

$$\frac{\operatorname{sen}^2(x)} {1-\cos(x)} = 1+\cos(x).$$

A equação passa a ser

$$(1+\cos x)\tan\left(\frac{x}{2}\right) = 1-\operatorname{sen}x-\cos x.$$

3. Utilizando a tangente do arco metade

Sabemos que

$$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\operatorname{sen}x}{1+\cos x},$$

desde que a expressão esteja definida.

Substituindo:

$$(1+\cos x) \frac{\operatorname{sen}x}{1+\cos x} = 1-\operatorname{sen}x-\cos x.$$

Portanto,

$$\operatorname{sen}x = 1-\operatorname{sen}x-\cos x.$$

Reorganizando:

$$2\operatorname{sen}x+\cos x=1.$$

4. Utilizando a substituição de arco metade

Agora fazemos

$$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right).$$

Sabemos que

$$\operatorname{sen}x = \frac{2t}{1+t^2}$$

e

$$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

Substituindo na equação

$$2\operatorname{sen}x+\cos x=1,$$

temos

$$2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 1.$$

Colocando tudo sobre o mesmo denominador:

$$\frac{4t+1-t^2}{1+t^2} = 1.$$

Multiplicando por $1+t^2$:

$$4t+1-t^2 = 1+t^2.$$

Então,

$$4t=2t^2.$$

Logo,

$$2t(t-2)=0.$$

Assim,

$$t=0 \qquad\text{ou}\qquad t=2.$$

5. Analisando as soluções

Como

$$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right),$$

a primeira possibilidade fornece

$$\tan\left(\frac{x}{2}\right)=0.$$

Logo,

$$x=2k\pi.$$

Porém, esses valores foram excluídos do domínio, pois

$$1-\cos(x)=0.$$

Portanto, $t=0$ não produz soluções da equação original.

Resta

$$\tan\left(\frac{x}{2}\right)=2.$$

Assim,

$$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(2)+k\pi.$$

Multiplicando por $2$:

$$x = 2\operatorname{arctg}(2)+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Portanto,

$$\boxed{ x=2\operatorname{arctg}(2)+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z} }.$$

Resposta

Alternativa B.

🧩 Exercício 8 ITA 2027Médio

Seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função. Considere as seguintes afirmações:

I. Se

$$f(x)=f(f(x))$$

para todo $x\in\mathbb{R}$, então $f$ é uma função constante.

II. Se

$$f(f(x))=2x-7$$

para todo $x\in\mathbb{R}$, então $f$ é uma função bijetora.

III. Se

$$f(x)+2f(-x)=x+1$$

para todo $x\in\mathbb{R}$, então $f$ é uma função afim.

É (São) VERDADEIRA(S):

Afirmação I

Temos

$$f(x)=f(f(x)).$$

Essa igualdade significa que todo valor de $f(x)$ é um ponto fixo da função $f$.

Entretanto, isso não significa que $f$ seja constante.

Por exemplo, considere a função identidade:

$$f(x)=x.$$

Nesse caso,

$$f(f(x))=f(x)=x.$$

Portanto,

$$f(x)=f(f(x))$$

para todo $x\in\mathbb{R}$.

Porém, a função identidade não é constante.

Logo, a afirmação I é falsa.

---

Afirmação II

Temos

$$f(f(x))=2x-7.$$

Vamos verificar se $f$ é injetora e sobrejetora.

Injetividade

Suponha que

$$f(a)=f(b).$$

Aplicando $f$ aos dois lados:

$$f(f(a))=f(f(b)).$$

Pela hipótese,

$$2a-7=2b-7.$$

Logo,

$$2a=2b$$

e, portanto,

$$a=b.$$

Assim, $f$ é injetora.

Sobrejetividade

Seja $y\in\mathbb{R}$.

Queremos encontrar $x\in\mathbb{R}$ tal que

$$f(x)=y.$$

Escolhemos $t\in\mathbb{R}$ tal que

$$2t-7=y.$$

Isso é possível tomando

$$t=\frac{y+7}{2}.$$

Pela hipótese,

$$f(f(t))=2t-7=y.$$

Logo, o número $f(t)$ é um elemento do domínio tal que

$$f(f(t))=y.$$

Portanto, $y$ pertence à imagem de $f$.

Assim, $f$ é sobrejetora.

Como $f$ é simultaneamente injetora e sobrejetora, concluímos que $f$ é bijetora.

Logo, a afirmação II é verdadeira.

---

Afirmação III

Temos

$$f(x)+2f(-x)=x+1.$$

Agora substituímos $x$ por $-x$:

$$f(-x)+2f(x)=-x+1.$$

Portanto, temos o sistema

$$\begin{cases} f(x)+2f(-x)=x+1,\\ 2f(x)+f(-x)=1-x. \end{cases}$$

Vamos resolver esse sistema.

Multiplicando a primeira equação por $2$:

$$2f(x)+4f(-x)=2x+2.$$

Subtraindo a segunda equação:

$$3f(-x)=3x+1.$$

Logo,

$$f(-x)=x+\frac13.$$

Agora, substituindo na primeira equação:

$$f(x)+2\left(x+\frac13\right)=x+1.$$

Assim,

$$f(x)+2x+\frac23=x+1.$$

Portanto,

$$f(x)=\frac13-x.$$

A função obtida é da forma

$$f(x)=ax+b,$$

com

$$a=-1 \qquad\text{e}\qquad b=\frac13.$$

Logo, $f$ é uma função afim.

Portanto, a afirmação III é verdadeira.

---

Conclusão

Temos:

$$\boxed{\text{I: falsa}}$$$$\boxed{\text{II: verdadeira}}$$$$\boxed{\text{III: verdadeira}}$$

Portanto, apenas as afirmações II e III são verdadeiras.

$$\boxed{\text{Alternativa D}}$$

🧩 Exercício 9 ITA 2027Médio

Para todo subconjunto

$$S\subset\{n\in\mathbb{N}:1\leq n\leq60\}$$

com $9$ elementos, considere as seguintes afirmações:

I. Existe um subconjunto de $S$ com $4$ elementos cuja soma é menor ou igual a $220$.

II. Existe um subconjunto $A$ de $S$, com $A\neq\varnothing$ e $A\neq S$, tal que a soma dos elementos de $A$ é igual à soma dos elementos de $S\setminus A$.

III. Existem subconjuntos $A$ e $B$ de $S$, distintos e não vazios, tais que a soma dos elementos de $A$ é igual à soma dos elementos de $B$.

É (São) VERDADEIRA(S):

Afirmação I

Ordenemos os elementos de $S$ como

$$s_1<s_2<\cdots<s_9.$$

Considere os quatro menores elementos:

$$s_1,\quad s_2,\quad s_3,\quad s_4.$$

Como existem outros cinco elementos maiores que $s_4$ e todos pertencem ao conjunto $\{1,2,\ldots,60\}$, para maximizar $s_1+s_2+s_3+s_4$ devemos escolher os quatro primeiros elementos o mais à direita possível.

A maior possibilidade é

$$S=\{52,53,54,55,56,57,58,59,60\}.$$

Nesse caso,

$$s_1+s_2+s_3+s_4 = 52+53+54+55.$$

Logo,

$$s_1+s_2+s_3+s_4=214.$$

Portanto, para qualquer conjunto $S$ com $9$ elementos,

$$s_1+s_2+s_3+s_4\leq214<220.$$

Assim, os quatro menores elementos de $S$ sempre formam um subconjunto cuja soma é menor ou igual a $220$.

Logo, a afirmação I é verdadeira.

---

Afirmação II

A afirmação diz que existe um subconjunto próprio e não vazio $A$ tal que

$$\sum_{a\in A}a = \sum_{b\in S\setminus A}b.$$

Isso significa que a soma de todos os elementos de $S$ deve ser par, pois

$$\sum_{s\in S}s = \sum_{a\in A}a + \sum_{b\in S\setminus A}b = 2\sum_{a\in A}a.$$

Entretanto, isso não ocorre necessariamente.

Por exemplo, considere

$$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.$$

A soma de seus elementos é

$$1+2+3+\cdots+9=45.$$

Como $45$ é ímpar, não é possível dividir $S$ em duas partes com a mesma soma.

Portanto, existe pelo menos um conjunto $S$ para o qual a afirmação II é falsa.

Logo, a afirmação II é falsa.

---

Afirmação III

Considere todos os subconjuntos de $S$ que possuem $3$, $4$ ou $5$ elementos.

A quantidade desses subconjuntos é

$$\binom93+\binom94+\binom95.$$

Calculando:

$$\binom93=84,$$$$\binom94=126,$$

e

$$\binom95=126.$$

Portanto, temos

$$84+126+126=336$$

subconjuntos.

Agora vamos analisar os possíveis valores das somas.

Como todos os elementos de $S$ pertencem a $\{1,2,\ldots,60\}$, a menor soma possível de três elementos é

$$1+2+3=6,$$

enquanto a maior soma possível de cinco elementos é

$$56+57+58+59+60=290.$$

Portanto, as somas dos subconjuntos considerados estão entre $6$ e $290$.

Isso significa que existem no máximo

$$290-6+1=285$$

valores inteiros possíveis para essas somas.

Entretanto, temos $336$ subconjuntos.

Como

$$336>285,$$

pelo Princípio da Casa dos Pombos, pelo menos dois desses subconjuntos possuem a mesma soma.

Sejam esses subconjuntos $A$ e $B$. Então,

$$A\neq B$$

e

$$\sum_{a\in A}a = \sum_{b\in B}b.$$

Além disso, ambos possuem entre $3$ e $5$ elementos e, portanto, são não vazios.

Logo, a afirmação III é verdadeira.

---

Conclusão

Temos:

$$\boxed{\text{I: verdadeira}}$$$$\boxed{\text{II: falsa}}$$$$\boxed{\text{III: verdadeira}}$$

Portanto, as afirmações verdadeiras são I e III.

$$\boxed{\text{Alternativa D}}$$

🧩 Exercício 10 ITA 2027Médio

Seja $p(x)$ um polinômio com coeficientes reais tal que

$$p(1+i)=0$$

e

$$p(1)=-1.$$

Sabendo que

$$p(p(x))-p(x^3)$$

é um polinômio de grau $8$, o valor de $p(-1)$ é:

1. Determinando o grau de $p$

Se $p$ possui grau $n$ e coeficiente dominante $a$, então

$$\deg(p(p(x)))=n^2$$

e

$$\deg(p(x^3))=3n.$$

O polinômio

$$p(p(x))-p(x^3)$$

possui grau $8$.

Se $n=3$, os dois termos possuem grau $9$. Para que o grau $9$ desapareça, os coeficientes dominantes precisam se cancelar.

Se

$$p(x)=ax^3+\cdots,$$

então

$$p(p(x)) = a(ax^3)^3+\cdots = a^4x^9+\cdots$$

e

$$p(x^3)=ax^9+\cdots.$$

Portanto, o coeficiente de $x^9$ na diferença é

$$a^4-a.$$

Para que ele seja nulo:

$$a^4-a=0.$$

Logo,

$$a(a^3-1)=0.$$

Como $p$ é de grau $3$, temos $a\neq0$. Assim,

$$a^3=1$$

e, como os coeficientes são reais,

$$a=1.$$

Portanto, $p$ é um polinômio cúbico mônico.

---

2. Utilizando a raiz complexa

Sabemos que

$$p(1+i)=0.$$

Como $p$ possui coeficientes reais, toda raiz complexa não real ocorre juntamente com sua conjugada.

Assim, como $1+i$ é raiz, também temos

$$1-i$$

como raiz.

Portanto, o polinômio $p$ possui o fator

$$(x-(1+i))(x-(1-i)).$$

Calculando:

$$(x-1-i)(x-1+i) = (x-1)^2+1.$$

Logo,

$$(x-1)^2+1 = x^2-2x+2.$$

Como $p$ é cúbico e mônico, podemos escrever

$$p(x)=(x^2-2x+2)(x-r),$$

para algum $r\in\mathbb{R}$.

---

3. Utilizando $p(1)=-1$

Substituindo $x=1$:

$$p(1) = (1-2+2)(1-r).$$

Portanto,

$$p(1)=1-r.$$

Como o enunciado informa que

$$p(1)=-1,$$

temos

$$1-r=-1.$$

Logo,

$$r=2.$$

Assim,

$$p(x) = (x^2-2x+2)(x-2).$$

---

4. Calculando $p(-1)$

Substituindo $x=-1$:

$$p(-1) = ((-1)^2-2(-1)+2)(-1-2).$$

Então,

$$p(-1) = (1+2+2)(-3).$$

Logo,

$$p(-1)=5(-3).$$$$\boxed{p(-1)=-15}.$$

Resposta

Alternativa E) $-15$.

🧩 Exercício 11 ITA 2027Médio

Um tetraedro possui quatro arestas de tamanho $\sqrt{3}$ e duas arestas opostas de tamanho $2$. O volume desse tetraedro é:

1. Representando o tetraedro

Como as quatro arestas de comprimento $\sqrt{3}$ estão em dois pares de arestas opostas, podemos representar o tetraedro por quatro pontos na forma

$$A=(x,y,z),$$$$B=(x,-y,-z),$$$$C=(-x,y,-z),$$$$D=(-x,-y,z).$$

Nessa representação, as arestas opostas possuem o mesmo comprimento.

Considere os pares de arestas:

$$AB=CD=\sqrt{3},$$$$AC=BD=\sqrt{3},$$

e

$$AD=BC=2.$$

2. Relacionando as arestas com $x$, $y$ e $z$

Calculando $AB$:

$$AB = \sqrt{(x-x)^2+(-y-y)^2+(-z-z)^2}.$$

Logo,

$$AB=2\sqrt{y^2+z^2}.$$

Como $AB=\sqrt{3}$:

$$2\sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{3}.$$

Portanto,

$$y^2+z^2=\frac34.$$

Agora, para $AC$:

$$AC=2\sqrt{x^2+z^2}.$$

Como $AC=\sqrt{3}$:

$$x^2+z^2=\frac34.$$

Finalmente,

$$AD=2\sqrt{x^2+y^2}.$$

Como $AD=2$:

$$2\sqrt{x^2+y^2}=2.$$

Logo,

$$x^2+y^2=1.$$

Temos, portanto, o sistema

$$\begin{cases} y^2+z^2=\frac34,\\[4pt] x^2+z^2=\frac34,\\[4pt] x^2+y^2=1. \end{cases}$$

3. Determinando $x$, $y$ e $z$

Comparando as duas primeiras equações:

$$y^2+z^2=x^2+z^2.$$

Assim,

$$x^2=y^2.$$

Como

$$x^2+y^2=1,$$

temos

$$2x^2=1.$$

Logo,

$$x^2=y^2=\frac12.$$

Substituindo em

$$x^2+z^2=\frac34,$$

obtemos

$$\frac12+z^2=\frac34.$$

Portanto,

$$z^2=\frac14.$$

Assim,

$$|x|=|y|=\frac{1}{\sqrt2}$$

e

$$|z|=\frac12.$$

4. Calculando o volume

Tomemos o ponto $A$ como origem. Os vetores que determinam o tetraedro podem ser escritos como

$$\overrightarrow{AB} = (0,-2y,-2z),$$$$\overrightarrow{AC} = (-2x,0,-2z),$$

e

$$\overrightarrow{AD} = (-2x,-2y,0).$$

O volume de um tetraedro é

$$V= \frac16 \left| \det \begin{pmatrix} 0 & -2y & -2z\\ -2x & 0 & -2z\\ -2x & -2y & 0 \end{pmatrix} \right|.$$

Calculando o determinante:

$$\det \begin{pmatrix} 0 & -2y & -2z\\ -2x & 0 & -2z\\ -2x & -2y & 0 \end{pmatrix} = -16xyz.$$

Portanto,

$$V=\frac{16|xyz|}{6}.$$

Ou seja,

$$V=\frac83|xyz|.$$

Como

$$|x|=\frac1{\sqrt2}, \qquad |y|=\frac1{\sqrt2}, \qquad |z|=\frac12,$$

temos

$$|xyz| = \frac1{\sqrt2}\cdot \frac1{\sqrt2}\cdot \frac12 = \frac14.$$

Logo,

$$V= \frac83\cdot\frac14.$$

Assim,

$$\boxed{V=\frac23}.$$

Resposta

Alternativa B) $\frac{2}{3}$.

🧩 Exercício 12 ITA 2027Médio

Considere um polinômio dado por

$$p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx-21,$$

em que $a$, $b$ e $c$ são números reais. Sabe-se que $p(x)$ possui quatro raízes inteiras e que, para todo inteiro $n$ que não seja múltiplo de $5$, o valor de $p(n)$ é múltiplo de $5$.

Determine o valor de

$$a^2+b^2+c^2.$$

1. Utilizando a condição de divisibilidade por $5$

Sabemos que, para todo inteiro $n$ que não é múltiplo de $5$,

$$5\mid p(n).$$

Os restos não nulos módulo $5$ são

$$1,\quad 2,\quad 3,\quad 4.$$

Portanto,

$$p(1),\quad p(2),\quad p(3),\quad p(4)$$

são todos múltiplos de $5$.

Como $p(x)$ é mônico e possui grau $4$, podemos considerar sua expressão módulo $5$.

A única classe de polinômio mônico de grau $4$ que possui $1$, $2$, $3$ e $4$ como raízes módulo $5$ é

$$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4).$$

Mas, módulo $5$,

$$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^4-1.$$

Como

$$p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx-21,$$

e

$$-21\equiv-1\pmod5,$$

concluímos que

$$a\equiv b\equiv c\equiv0\pmod5.$$

Portanto,

$$\boxed{5\mid a,\qquad5\mid b,\qquad5\mid c}.$$

---

2. Utilizando as quatro raízes inteiras

Como todas as quatro raízes de $p(x)$ são inteiras e o termo independente é $-21$, o produto das quatro raízes é

$$-21.$$

Além disso, nenhuma delas pode ser múltipla de $5$, pois seu produto é $-21$.

Os divisores inteiros de $21$ são

$$\pm1,\quad\pm3,\quad\pm7,\quad\pm21.$$

Pelas relações de Viète, se as raízes são $r_1,r_2,r_3,r_4$, então

$$r_1r_2r_3r_4=-21.$$

Também temos

$$a=-(r_1+r_2+r_3+r_4),$$$$b=r_1r_2+r_1r_3+r_1r_4+r_2r_3+r_2r_4+r_3r_4,$$

e

$$c=-(r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4).$$

Como $a$, $b$ e $c$ são múltiplos de $5$, precisamos encontrar as quatro raízes que satisfazem essas condições.

Uma possibilidade é

$$(r_1,r_2,r_3,r_4)=(-7,-3,-1,1).$$

De fato,

$$(-7)(-3)(-1)(1)=-21.$$

As raízes também podem ser

$$(-1,1,3,7),$$

que é a configuração correspondente com todos os sinais invertidos.

Vamos utilizar, por exemplo,

$$-7,\quad-3,\quad-1,\quad1.$$

---

3. Calculando $a$

Pela relação de Viète,

$$a=-(-7-3-1+1).$$

Logo,

$$a=10.$$

---

4. Calculando $b$

Temos

$$b= (-7)(-3)+(-7)(-1)+(-7)(1) +(-3)(-1)+(-3)(1)+(-1)(1).$$

Calculando:

$$b=21+7-7+3-3-1.$$

Portanto,

$$\boxed{b=20}.$$

---

5. Calculando $c$

Pela relação de Viète,

$$c= -\left[ (-7)(-3)(-1) +(-7)(-3)(1) +(-7)(-1)(1) +(-3)(-1)(1) \right].$$

Assim,

$$c= -\left[ -21+21+7-3 \right].$$

Logo,

$$\boxed{c=-4}.$$

Nesse ponto, entretanto, essa escolha de raízes não satisfaz a condição módulo $5$ para $c$. Portanto, precisamos considerar corretamente a configuração das quatro raízes.

A configuração que satisfaz simultaneamente as relações de Viète e a condição módulo $5$ é

$$(-7,-3,-1,1)$$

com a expansão direta do polinômio:

$$p(x) = (x+7)(x+3)(x+1)(x-1).$$

Agrupando os fatores:

$$(x+1)(x-1)=x^2-1$$

e

$$(x+7)(x+3)=x^2+10x+21.$$

Portanto,

$$p(x) = (x^2-1)(x^2+10x+21).$$

Desenvolvendo:

$$p(x) = x^4+10x^3+20x^2-10x-21.$$

Assim,

$$\boxed{a=10,\qquad b=20,\qquad c=-10}.$$

---

6. Calculando a expressão pedida

Temos

$$a^2+b^2+c^2 = 10^2+20^2+(-10)^2.$$

Logo,

$$a^2+b^2+c^2 = 100+400+100.$$

Portanto,

$$\boxed{a^2+b^2+c^2=600}.$$

Resposta

Alternativa B) $600$.