Trigonometria hard

🧩 Exercício 1 Difícil

Calcule:

$$S=\tan\alpha+\frac{1}{2}\tan\frac{\alpha}{2} +\cdots+ \frac{1}{2^n}\tan\frac{\alpha}{2^n}$$

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Use a fórmula da tangente do arco duplo:

$$\tan\theta= \frac{2\tan\frac{\theta}{2}} {1-\tan^2\frac{\theta}{2}}.$$

Faça a multiplicação em cruz e divida a expressão por $\tan\theta\cdot\tan\frac{\theta}{2}$ para fazer aparecer as cotangentes.

Passo 1 — Obtendo uma relação entre as cotangentes

Partimos de:

$$\tan\theta= \frac{2\tan\frac{\theta}{2}} {1-\tan^2\frac{\theta}{2}}.$$

Fazendo a multiplicação em cruz:

$$\tan\theta \left(1-\tan^2\frac{\theta}{2}\right) = 2\tan\frac{\theta}{2}.$$

Dividindo tudo por

$$\tan\theta\cdot\tan\frac{\theta}{2},$$

obtemos:

$$\frac{1-\tan^2\frac{\theta}{2}} {\tan\frac{\theta}{2}} = \frac{2}{\tan\theta}.$$

Separando os termos:

$$\frac{1}{\tan\frac{\theta}{2}} - \tan\frac{\theta}{2} = \frac{2}{\tan\theta}.$$

Como:

$$\frac{1}{\tan x}=\cot x,$$

temos:

$$\cot\frac{\theta}{2} - \tan\frac{\theta}{2} = 2\cot\theta.$$

Logo:

$$\boxed{ \tan\frac{\theta}{2} = \cot\frac{\theta}{2}-2\cot\theta }.$$

---

Passo 2 — Aplicando aos termos da soma

Aplicando a relação com $\theta=\alpha$:

$$\tan\frac{\alpha}{2} = \cot\frac{\alpha}{2}-2\cot\alpha.$$

Multiplicando por $\frac12$:

$$\frac12\tan\frac{\alpha}{2} = \frac12\cot\frac{\alpha}{2}-\cot\alpha.$$

Agora fazemos o mesmo com $\theta=\frac{\alpha}{2}$:

$$\tan\frac{\alpha}{4} = \cot\frac{\alpha}{4} - 2\cot\frac{\alpha}{2}.$$

Multiplicando por $\frac14$:

$$\frac14\tan\frac{\alpha}{4} = \frac14\cot\frac{\alpha}{4} - \frac12\cot\frac{\alpha}{2}.$$

Continuando:

$$\frac{1}{2^n}\tan\frac{\alpha}{2^n} = \frac{1}{2^n}\cot\frac{\alpha}{2^n} - \frac{1}{2^{n-1}}\cot\frac{\alpha}{2^{n-1}}.$$

---

Passo 3 — Fazendo o cancelamento

Substituindo tudo em $S$:

$$\begin{aligned} S={}&\tan\alpha +\frac12\cot\frac{\alpha}{2}-\cot\alpha\\ &+\frac14\cot\frac{\alpha}{4} -\frac12\cot\frac{\alpha}{2}\\ &+\cdots\\ &+\frac{1}{2^n}\cot\frac{\alpha}{2^n} -\frac{1}{2^{n-1}}\cot\frac{\alpha}{2^{n-1}}. \end{aligned}$$

Os termos intermediários se cancelam:

$$\frac12\cot\frac{\alpha}{2} - \frac12\cot\frac{\alpha}{2}=0,$$$$\frac14\cot\frac{\alpha}{4} - \frac14\cot\frac{\alpha}{4}=0,$$

e assim por diante.

Restam:

$$S= \tan\alpha-\cot\alpha + \frac{1}{2^n}\cot\frac{\alpha}{2^n}.$$

---

Passo 4 — Simplificando os termos restantes

Da relação obtida anteriormente:

$$\cot\frac{\theta}{2} - \tan\frac{\theta}{2} = 2\cot\theta.$$

Tomando $\theta=2\alpha$:

$$\cot\alpha-\tan\alpha=2\cot(2\alpha).$$

Logo:

$$\tan\alpha-\cot\alpha=-2\cot(2\alpha).$$

Portanto:

$$\boxed{ S= \frac{1}{2^n}\cot\frac{\alpha}{2^n} - 2\cot(2\alpha) }.$$

Resultado

$$\boxed{ S= \frac{\cot\left(\frac{\alpha}{2^n}\right)}{2^n} - 2\cot(2\alpha) }$$

🧩 Exercício 2 Difícil

Se $\operatorname{sen}2a$, $\operatorname{sen}2b$, $\operatorname{sen}2c$ estão em progressão aritmética, mostre que

$$\operatorname{tg}(b+c),\quad \operatorname{tg}(a+c),\quad \operatorname{tg}(a+b)$$

também estão em progressão aritmética.

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Utilize a condição de uma progressão aritmética:

$$\operatorname{sen}2b-\operatorname{sen}2a = \operatorname{sen}2c-\operatorname{sen}2b.$$

Em seguida, transforme as diferenças de senos em produtos usando:

$$\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}y = 2\operatorname{sen}\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}.$$

Passo 1 — Utilizando a condição da P.A.

Por hipótese,

$$\operatorname{sen}2b-\operatorname{sen}2a = \operatorname{sen}2c-\operatorname{sen}2b.$$

Daí, transformando diferença em produto:

$$2\operatorname{sen}(b-a)\cos(b+a) = 2\operatorname{sen}(c-b)\cos(c+b).$$

Cancelando o fator $2$:

$$\operatorname{sen}(b-a)\cos(b+a) = \operatorname{sen}(c-b)\cos(c+b).$$

Como:

$$(b-a)=(b+c)-(a+c)$$

e

$$(c-b)=(a+c)-(a+b),$$

podemos escrever:

$$\operatorname{sen}[(b+c)-(a+c)]\cos(b+a) = \operatorname{sen}[(a+c)-(a+b)]\cos(c+b).$$

Logo:

$$\begin{aligned} &\operatorname{sen}(b+c)\cos(a+c)\cos(a+b) -\operatorname{sen}(a+c)\cos(b+c)\cos(a+b) \\ &= \operatorname{sen}(a+c)\cos(a+b)\cos(b+c) -\operatorname{sen}(a+b)\cos(a+c)\cos(b+c). \end{aligned}$$

Dividindo ambos os membros por

$$\cos(a+b)\cos(b+c)\cos(a+c),$$

vem que:

$$\operatorname{tg}(b+c)-\operatorname{tg}(a+c) = \operatorname{tg}(a+c)-\operatorname{tg}(a+b).$$

Portanto:

$$\boxed{ \operatorname{tg}(b+c),\quad \operatorname{tg}(a+c),\quad \operatorname{tg}(a+b) }$$

estão em progressão aritmética.

🧩 Exercício 3 Difícil

Calcule:

$$S=\operatorname{cossec}\alpha+\operatorname{cossec}2\alpha+\cdots+ \operatorname{cossec}2^n\alpha,$$

para

$$2^p\alpha\neq k\pi, \qquad p=0,1,2,\ldots,n$$

e

$$k\in\mathbb{Z}.$$

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Considere um triângulo retângulo com hipotenusa $a$ e catetos $b$ e $c$.

Prolongando o cateto $b$ por um segmento de comprimento $a$, obtemos:

$$\operatorname{cotg}\frac{A}{2} = \frac{a+b}{c}.$$

Como:

$$\frac{a}{c}=\operatorname{cossec}A$$

e

$$\frac{b}{c}=\operatorname{cotg}A,$$

podemos obter uma relação entre $\operatorname{cossec}A$ e as cotangentes.

Essa relação permitirá transformar a soma em uma soma telescópica.

Passo 1 — Obtendo a relação entre cossecante e cotangente

Considere um triângulo retângulo com hipotenusa $a$ e catetos $b$ e $c$.

Ao prolongarmos o cateto $b$ por um segmento de comprimento $a$, construímos um triângulo isósceles, pois os dois lados menores possuem comprimento $a$.

Assim, os ângulos da base desse triângulo são iguais. Como o ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos opostos, temos:

$$A=2\cdot\frac{A}{2}.$$

Portanto, o ângulo formado no vértice do triângulo isósceles é $\frac{A}{2}$, como indicado na figura.

Pela definição da cotangente:

$$\operatorname{cotg}\frac{A}{2} = \frac{a+b}{c}.$$

Separando a fração:

$$\operatorname{cotg}\frac{A}{2} = \frac{a}{c}+\frac{b}{c}.$$

No triângulo retângulo, temos:

$$\frac{a}{c}=\operatorname{cossec}A$$

e

$$\frac{b}{c}=\operatorname{cotg}A.$$

Portanto:

$$\operatorname{cotg}\frac{A}{2} = \operatorname{cossec}A+\operatorname{cotg}A.$$

Isolando a cossecante:

$$\boxed{ \operatorname{cossec}A = \operatorname{cotg}\frac{A}{2} - \operatorname{cotg}A }.$$

---

Passo 2 — Aplicando à soma

Nossa soma é:

$$S= \operatorname{cossec}\alpha+ \operatorname{cossec}2\alpha+ \operatorname{cossec}4\alpha+ \cdots+ \operatorname{cossec}2^n\alpha.$$

Aplicando a relação encontrada:

$$\operatorname{cossec}\alpha = \operatorname{cotg}\frac{\alpha}{2} - \operatorname{cotg}\alpha,$$$$\operatorname{cossec}2\alpha = \operatorname{cotg}\alpha - \operatorname{cotg}2\alpha,$$$$\operatorname{cossec}4\alpha = \operatorname{cotg}2\alpha - \operatorname{cotg}4\alpha,$$

e assim por diante.

Para o último termo:

$$\operatorname{cossec}2^n\alpha = \operatorname{cotg}2^{n-1}\alpha - \operatorname{cotg}2^n\alpha.$$

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Passo 3 — Efetuando o cancelamento

Substituindo tudo em $S$:

$$\begin{aligned} S={}& \left( \operatorname{cotg}\frac{\alpha}{2} -\operatorname{cotg}\alpha \right) \\ &+ \left( \operatorname{cotg}\alpha -\operatorname{cotg}2\alpha \right) \\ &+ \left( \operatorname{cotg}2\alpha -\operatorname{cotg}4\alpha \right) \\ &+\cdots+ \left( \operatorname{cotg}2^{n-1}\alpha -\operatorname{cotg}2^n\alpha \right). \end{aligned}$$

Observe que os termos intermediários se cancelam:

$$-\operatorname{cotg}\alpha+\operatorname{cotg}\alpha=0,$$$$-\operatorname{cotg}2\alpha+\operatorname{cotg}2\alpha=0,$$

e assim por diante.

Restam apenas o primeiro e o último termo:

$$\boxed{ S= \operatorname{cotg}\frac{\alpha}{2} - \operatorname{cotg}2^n\alpha }.$$

Resultado

Portanto,

$$\boxed{ S=\operatorname{cotg}\frac{\alpha}{2} -\operatorname{cotg}(2^n\alpha) }.$$

🧩 Exercício 4 Difícil

Calcule a soma:

$$S=\sec\alpha\sec2\alpha +\sec2\alpha\sec3\alpha +\cdots+ \sec n\alpha\sec(n+1)\alpha.$$

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Parta da diferença:

$$\tan(A+\alpha)-\tan A.$$

Escreva as tangentes em função de seno e cosseno e faça a diferença em uma única fração.

Depois, utilize a identidade:

$$\operatorname{sen}(A+\alpha)\cos A - \operatorname{sen}A\cos(A+\alpha) = \operatorname{sen}\alpha.$$

Isso permitirá obter uma expressão para o produto de duas secantes consecutivas e transformar a soma em uma soma telescópica.

Passo 1 — Obtendo uma expressão para o produto de secantes

Partimos da diferença:

$$\tan(A+\alpha)-\tan A.$$

Escrevendo as tangentes em função de seno e cosseno:

$$\tan(A+\alpha)-\tan A = \frac{\operatorname{sen}(A+\alpha)} {\cos(A+\alpha)} - \frac{\operatorname{sen}A}{\cos A}.$$

Fazendo a diferença em uma única fração:

$$\tan(A+\alpha)-\tan A = \frac{ \operatorname{sen}(A+\alpha)\cos A - \operatorname{sen}A\cos(A+\alpha) } {\cos(A+\alpha)\cos A}.$$

Pela identidade da diferença de senos:

$$\operatorname{sen}(A+\alpha)\cos A - \operatorname{sen}A\cos(A+\alpha) = \operatorname{sen}\alpha.$$

Logo:

$$\tan(A+\alpha)-\tan A = \frac{\operatorname{sen}\alpha} {\cos(A+\alpha)\cos A}.$$

Como:

$$\sec A=\frac{1}{\cos A},$$

podemos escrever:

$$\boxed{ \sec A\sec(A+\alpha) = \frac{\tan(A+\alpha)-\tan A} {\operatorname{sen}\alpha} }.$$

---

Passo 2 — Aplicando aos termos da soma

Para o primeiro termo, fazendo $A=\alpha$:

$$\sec\alpha\sec2\alpha = \frac{\tan2\alpha-\tan\alpha} {\operatorname{sen}\alpha}.$$

Para o segundo termo, fazendo $A=2\alpha$:

$$\sec2\alpha\sec3\alpha = \frac{\tan3\alpha-\tan2\alpha} {\operatorname{sen}\alpha}.$$

Para o terceiro:

$$\sec3\alpha\sec4\alpha = \frac{\tan4\alpha-\tan3\alpha} {\operatorname{sen}\alpha}.$$

Continuando dessa maneira, temos:

$$\sec n\alpha\sec(n+1)\alpha = \frac{ \tan(n+1)\alpha-\tan n\alpha } {\operatorname{sen}\alpha}.$$

Portanto:

$$\begin{aligned} S={}& \frac{\tan2\alpha-\tan\alpha} {\operatorname{sen}\alpha} + \frac{\tan3\alpha-\tan2\alpha} {\operatorname{sen}\alpha} \\ &+ \frac{\tan4\alpha-\tan3\alpha} {\operatorname{sen}\alpha} +\cdots+ \frac{\tan(n+1)\alpha-\tan n\alpha} {\operatorname{sen}\alpha}. \end{aligned}$$

---

Passo 3 — Fazendo o cancelamento telescópico

Colocando $\frac{1}{\operatorname{sen}\alpha}$ em evidência:

$$S= \frac{1}{\operatorname{sen}\alpha} \left[ (\tan2\alpha-\tan\alpha) + (\tan3\alpha-\tan2\alpha) +\cdots + (\tan(n+1)\alpha-\tan n\alpha) \right].$$

Observe que os termos intermediários se cancelam:

$$-\tan2\alpha+\tan2\alpha=0,$$$$-\tan3\alpha+\tan3\alpha=0,$$

e assim por diante.

Restam apenas os termos das extremidades:

$$S= \frac{ \tan(n+1)\alpha-\tan\alpha } {\operatorname{sen}\alpha}.$$

Portanto:

$$\boxed{ S= \frac{\tan((n+1)\alpha)-\tan\alpha} {\operatorname{sen}\alpha} }.$$

Resultado

A soma procurada é:

$$\boxed{ S= \frac{\tan((n+1)\alpha)-\tan\alpha} {\operatorname{sen}\alpha} }.$$

🧩 Exercício 5 Médio

Calcule o valor do somatório:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\operatorname{arctg}\left(\frac{2}{n^2}\right).$$

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A ideia é transformar o termo em uma diferença de duas funções arco-tangente, obtendo uma soma telescópica.

Use a fórmula:

$$\operatorname{tg}(A-B) = \frac{\operatorname{tg}A-\operatorname{tg}B} {1+\operatorname{tg}A\operatorname{tg}B}.$$

Observe que:

$$\frac{2}{n^2} = \frac{(n+1)-(n-1)} {1+(n+1)(n-1)}.$$

Passo 1 — Transformando o termo

Temos:

$$\frac{2}{n^2} = \frac{(n+1)-(n-1)} {1+(n+1)(n-1)}.$$

Pela fórmula:

$$\operatorname{tg}(A-B) = \frac{\operatorname{tg}A-\operatorname{tg}B} {1+\operatorname{tg}A\operatorname{tg}B},$$

podemos fazer:

$$\operatorname{tg}A=n+1$$

e

$$\operatorname{tg}B=n-1.$$

Assim:

$$\operatorname{tg}(A-B) = \frac{2}{n^2}.$$

Portanto:

$$\operatorname{arctg}\left(\frac{2}{n^2}\right) = \operatorname{arctg}(n+1) - \operatorname{arctg}(n-1).$$

Logo, a soma fica:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \operatorname{arctg}(n+1) - \operatorname{arctg}(n-1) \right].$$

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Passo 2 — Escrevendo alguns termos

Temos:

$$\begin{aligned} S={}& [\operatorname{arctg}2-\operatorname{arctg}0]\\ &+[\operatorname{arctg}3-\operatorname{arctg}1]\\ &+[\operatorname{arctg}4-\operatorname{arctg}2]\\ &+[\operatorname{arctg}5-\operatorname{arctg}3]\\ &+\cdots \end{aligned}$$

Perceba que os termos começam a se cancelar:

$$\operatorname{arctg}2-\operatorname{arctg}2=0,$$$$\operatorname{arctg}3-\operatorname{arctg}3=0,$$

e assim por diante.

Para deixar o cancelamento rigoroso, considere a soma parcial:

$$S_N= \sum_{n=1}^{N} \left[ \operatorname{arctg}(n+1) - \operatorname{arctg}(n-1) \right].$$

Escrevendo:

$$\begin{aligned} S_N={}& \operatorname{arctg}2-\operatorname{arctg}0\\ &+\operatorname{arctg}3-\operatorname{arctg}1\\ &+\operatorname{arctg}4-\operatorname{arctg}2\\ &+\cdots\\ &+\operatorname{arctg}(N+1)-\operatorname{arctg}(N-1). \end{aligned}$$

Após os cancelamentos, sobram apenas:

$$S_N= \operatorname{arctg}N + \operatorname{arctg}(N+1) - \operatorname{arctg}0 - \operatorname{arctg}1.$$

Como:

$$\operatorname{arctg}0=0$$

e

$$\operatorname{arctg}1=\frac{\pi}{4},$$

temos:

$$S_N= \operatorname{arctg}N + \operatorname{arctg}(N+1) - \frac{\pi}{4}.$$

---

Passo 3 — Fazendo $N\to\infty$

Sabemos que:

$$\lim_{N\to\infty}\operatorname{arctg}N = \frac{\pi}{2}.$$

Da mesma forma:

$$\lim_{N\to\infty}\operatorname{arctg}(N+1) = \frac{\pi}{2}.$$

Portanto:

$$S= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}.$$

Assim:

$$\boxed{S=\frac{3\pi}{4}}.$$