Números Complexos

🧩 Exercício 1 ITA/2006Médio

Para todo $z\in\mathbb C$, $|f(z)|=|z|$ e $|f(z)-f(1)|=|z-1|$, então, para todo $z\in\mathbb C$,

$$\overline{f(z)}f(1)+f(z)\overline{f(1)}$$

é igual a:

Temos as informações:

$$|f(z)|=|z|$$

e

$$|f(z)-f(1)|=|z-1|.$$

Elevando a segunda igualdade ao quadrado:

$$|f(z)-f(1)|^2=|z-1|^2.$$

Para números complexos, vale:

$$|a-b|^2=(a-b)(\overline a-\overline b).$$

Portanto:

$$(f(z)-f(1))(\overline{f(z)}-\overline{f(1)}) = (z-1)(\overline z-1).$$

Desenvolvendo:

$$|f(z)|^2 -\overline{f(z)}f(1) -f(z)\overline{f(1)} +|f(1)|^2 = |z|^2-z-\overline z+1.$$

Como $|f(z)|=|z|$ e $|f(1)|=|1|=1$, temos:

$$|z|^2 -\overline{f(z)}f(1) -f(z)\overline{f(1)} +1 = |z|^2-z-\overline z+1.$$

Cancelando os termos iguais:

$$-\overline{f(z)}f(1)-f(z)\overline{f(1)} = -z-\overline z.$$

Multiplicando por $-1$:

$$\overline{f(z)}f(1)+f(z)\overline{f(1)} = z+\overline z.$$

Sabemos que:

$$z+\overline z=2\operatorname{Re}(z).$$

Logo:

$$\boxed{2\operatorname{Re}(z)}.$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{c)}}.$$

🧩 Exercício 2 ITA/2004Médio

A soma das raízes da equação

$$z^3+z^2-|z|^2+2z=0,$$

onde $z\in\mathbb C$, é igual a:

Escrevemos o número complexo na forma:

$$z=x+iy.$$

Então:

$$|z|^2=x^2+y^2.$$

A equação é:

$$z^3+z^2-|z|^2+2z=0.$$

Vamos agrupar:

$$z^3+z^2+2z=|z|^2.$$

Como o lado direito é real, podemos procurar uma simplificação usando $|z|^2=z\overline z$.

Assim:

$$z^3+z^2-z\overline z+2z=0.$$

Colocando $z$ em evidência:

$$z(z^2+z-\overline z+2)=0.$$

Portanto, uma solução é:

$$z=0.$$

Para $z\neq0$, dividimos por $z$:

$$z^2+z-\overline z+2=0.$$

Como:

$$z-\overline z=2iy,$$

temos:

$$z^2+(z-\overline z)+2=0.$$

Substituindo $z=x+iy$:

$$(x+iy)^2+2iy+2=0.$$

Desenvolvendo:

$$x^2-y^2+2ixy+2iy+2=0.$$

Separando as partes real e imaginária:

$$x^2-y^2+2=0$$

e

$$2y(x+1)=0.$$

Da segunda equação:

$$y=0 \quad\text{ou}\quad x=-1.$$

Se $y=0$, a parte real fornece:

$$x^2+2=0,$$

que não possui solução real.

Logo:

$$x=-1.$$

Substituindo na parte real:

$$1-y^2+2=0,$$

portanto:

$$y^2=3.$$

Assim:

$$y=\pm\sqrt3.$$

As raízes são:

$$z=0,\qquad z=-1+i\sqrt3,\qquad z=-1-i\sqrt3.$$

A soma é:

$$0+(-1+i\sqrt3)+(-1-i\sqrt3)=-2.$$

Logo:

$$\boxed{-2}.$$

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a)}}.$$

🧩 Exercício 3 ITA/2004Médio

Sendo

$$z=\frac{1+i}{\sqrt2},$$

calcule:

$$\left| \sum_{n=1}^{60}z^n \right|.$$

Primeiramente, vamos observar que:

$$z=\frac{1+i}{\sqrt2}.$$

O módulo de $z$ é:

$$|z| = \frac{\sqrt{1^2+1^2}}{\sqrt2} = 1.$$

Além disso, pela forma trigonométrica:

$$z=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}.$$

Portanto:

$$z^n= \cos\frac{n\pi}{4} + i\sin\frac{n\pi}{4}.$$

A sequência das potências de $z$ é periódica, pois:

$$z^8=1.$$

Como estamos somando $60$ termos, podemos agrupá-los em períodos de $8$:

$$60=7\cdot8+4.$$

Agora, a soma de um ciclo completo é:

$$z+z^2+\cdots+z^8=0,$$

pois $z$ é uma raiz oitava da unidade diferente de $1$.

Assim, os primeiros $56$ termos se cancelam:

$$\sum_{n=1}^{60}z^n = z^{57}+z^{58}+z^{59}+z^{60}.$$

Como $z^8=1$:

$$z^{57}=z, \qquad z^{58}=z^2, \qquad z^{59}=z^3, \qquad z^{60}=z^4.$$

Logo:

$$\sum_{n=1}^{60}z^n = z+z^2+z^3+z^4.$$

Calculando:

$$z=\frac{1+i}{\sqrt2},$$$$z^2=i,$$$$z^3=\frac{-1+i}{\sqrt2},$$

e

$$z^4=-1.$$

Portanto:

$$z+z^2+z^3+z^4 = \frac{1+i}{\sqrt2} +i +\frac{-1+i}{\sqrt2} -1.$$

Os termos reais se cancelam parcialmente:

$$\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}-1=-1,$$

e os termos imaginários são:

$$\frac1{\sqrt2}+1+\frac1{\sqrt2} = 1+\sqrt2.$$

Então:

$$\sum_{n=1}^{60}z^n = -1+(1+\sqrt2)i.$$

Seu módulo é:

$$\left|-1+(1+\sqrt2)i\right| = \sqrt{(-1)^2+(1+\sqrt2)^2}.$$

Como:

$$(1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2,$$

temos:

$$\left| \sum_{n=1}^{60}z^n \right| = \sqrt{4+2\sqrt2}.$$

Portanto:

$$\boxed{\sqrt{4+2\sqrt2}}.$$

🧩 Exercício 4 ITA/2005Médio

Seja $z\in\mathbb{C}$ com $|z|=1$. Então, a expressão

$$\left|\frac{1-\overline{z}w}{z-w}\right|$$

assume valor:

Queremos analisar:

$$\left|\frac{1-\overline z w}{z-w}\right|.$$

Como $|z|=1$, temos:

$$z\overline z=|z|^2=1.$$

Portanto:

$$1=z\overline z.$$

Substituindo no numerador:

$$1-\overline z w = z\overline z-\overline z w.$$

Colocando $\overline z$ em evidência:

$$1-\overline z w = \overline z(z-w).$$

Assim:

$$\left|\frac{1-\overline z w}{z-w}\right| = \left|\frac{\overline z(z-w)}{z-w}\right|.$$

Como $w\neq z$, temos $z-w\neq0$, portanto podemos cancelar:

$$\left|\frac{1-\overline z w}{z-w}\right| = |\overline z|.$$

Mas:

$$|\overline z|=|z|=1.$$

Logo:

$$\boxed{ \left|\frac{1-\overline z w}{z-w}\right|=1 }$$

para qualquer $w\neq z$.

Portanto, o valor da expressão é independente de $w$ e sempre igual a $1$.

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{d)}}.$$

🧩 Exercício 5 ITA/2007Médio

Assinale a opção que indica o módulo do número complexo

$$\frac{1}{1+i\cdot\operatorname{cotg}x}, \qquad x\neq k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.$$

Queremos calcular o módulo de

$$z=\frac{1}{1+i\operatorname{cotg}x}.$$

Como $x\neq k\pi$, temos $\operatorname{sen}x\neq0$. Assim:

$$\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}.$$

Substituindo:

$$z= \frac{1}{1+i\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}}.$$

Colocando o denominador sobre o mesmo denominador:

$$z= \frac{1}{\frac{\operatorname{sen}x+i\cos x}{\operatorname{sen}x}}.$$

Portanto:

$$z= \frac{\operatorname{sen}x} {\operatorname{sen}x+i\cos x}.$$

Agora calculamos o módulo:

$$|z| = \frac{|\operatorname{sen}x|} {|\operatorname{sen}x+i\cos x|}.$$

Para um número complexo $a+bi$:

$$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Logo:

$$|\operatorname{sen}x+i\cos x| = \sqrt{\operatorname{sen}^2x+\cos^2x}.$$

Usando a identidade fundamental:

$$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1,$$

obtemos:

$$|\operatorname{sen}x+i\cos x|=1.$$

Assim:

$$|z|=\frac{|\operatorname{sen}x|}{1}.$$

Portanto:

$$\boxed{|z|=|\operatorname{sen}x|}.$$

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{e)}}.$$

🧩 Exercício 6 EUAFácil

Define-se a sequência de números complexos

$$a_n=(1+i) \left(1+\frac{i}{\sqrt2}\right) \left(1+\frac{i}{\sqrt3}\right) \cdots \left(1+\frac{i}{\sqrt n}\right), \qquad n\ge1.$$

Calcule o número natural $m$ tal que

$$\sum_{n=1}^{m}|a_n-a_{n+1}|=2005.$$

Vamos calcular primeiro o módulo de $a_n$.

Temos:

$$|1+i|=\sqrt2.$$

Para cada fator:

$$\left|1+\frac{i}{\sqrt k}\right| = \sqrt{1+\frac{1}{k}}.$$

Portanto,

$$|a_n| = \sqrt2 \prod_{k=2}^{n} \sqrt{1+\frac1k}.$$

Como

$$1+\frac1k=\frac{k+1}{k},$$

segue que:

$$|a_n| = \sqrt2 \sqrt{ \frac32\cdot\frac43\cdot\frac54\cdots\frac{n+1}{n} }.$$

O produto é telescópico:

$$\frac32\cdot\frac43\cdot\frac54\cdots\frac{n+1}{n} = \frac{n+1}{2}.$$

Assim:

$$|a_n| = \sqrt2\sqrt{\frac{n+1}{2}} = \sqrt{n+1}.$$

Agora vamos calcular $|a_n-a_{n+1}|$.

Observe que:

$$a_{n+1} = a_n\left(1+\frac{i}{\sqrt{n+1}}\right).$$

Logo:

$$a_{n+1}-a_n = a_n\frac{i}{\sqrt{n+1}}.$$

Portanto:

$$|a_{n+1}-a_n| = |a_n| \left|\frac{i}{\sqrt{n+1}}\right|.$$

Como $|i|=1$:

$$|a_{n+1}-a_n| = \frac{|a_n|}{\sqrt{n+1}}.$$

Já sabemos que:

$$|a_n|=\sqrt{n+1}.$$

Então:

$$|a_{n+1}-a_n| = \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}} = 1.$$

Assim, cada termo da soma vale exatamente $1$:

$$\sum_{n=1}^{m}|a_n-a_{n+1}| = \underbrace{1+1+\cdots+1}_{m\text{ termos}} = m.$$

Como a soma é igual a $2005$:

$$m=2005.$$

Portanto,

$$\boxed{m=2005}.$$

🧩 Exercício 7 AFA/94Fácil

A solução da equação

$$3z-8=\overline{z}-2i,$$

onde $z$ é um número complexo, $\overline{z}$ é o seu conjugado e $i$ é a unidade imaginária, é dada por:

Escreva o número complexo na forma:

$$z=x+yi,$$

onde $x,y\in\mathbb R$.

Seu conjugado é:

$$\overline z=x-yi.$$

Substituindo na equação:

$$3(x+yi)-8=x-yi-2i.$$

Desenvolvendo:

$$3x+3yi-8=x-yi-2i.$$

Separando as partes real e imaginária:

$$3x-8=x$$

e

$$3y=-y-2.$$

Da primeira:

$$2x=8$$$$x=4.$$

Da segunda:

$$4y=-2$$$$y=-\frac12.$$

Portanto:

$$\boxed{z=4-\frac12i}.$$

Logo, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{d)}}.$$

🧩 Exercício 8 AFA/95Fácil

Se

$$w=\frac{2-i}{1+i}, \qquad i=\sqrt{-1},$$

então $\overline w$ é igual a:

Temos:

$$w=\frac{2-i}{1+i}.$$

Para eliminar o $i$ do denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de $1+i$, que é $1-i$:

$$w= \frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}.$$

No denominador:

$$(1+i)(1-i)=1-i^2=2.$$

No numerador:

$$(2-i)(1-i) = 2-2i-i+i^2.$$

Como $i^2=-1$:

$$(2-i)(1-i)=1-3i.$$

Assim:

$$w=\frac{1-3i}{2} = \frac12-\frac32i.$$

Portanto, seu conjugado é:

$$\boxed{\overline w=\frac12+\frac32i}.$$

Logo, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a)}}.$$

🧩 Exercício 9 AFA/95Médio

Se $z=2-5i$ e $w=-1+3i$, sendo $i=\sqrt{-1}$, então o valor de $|zw|$ é:

Vamos calcular o produto:

$$zw=(2-5i)(-1+3i).$$

Desenvolvendo:

$$zw=-2+6i+5i-15i^2.$$

Como $i^2=-1$:

$$zw=-2+11i+15$$

e, portanto:

$$zw=13+11i.$$

O módulo de um número complexo $a+bi$ é:

$$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Logo:

$$|zw| = \sqrt{13^2+11^2}.$$

Calculando:

$$|zw| = \sqrt{169+121} = \sqrt{290}.$$

Portanto:

$$\boxed{|zw|=\sqrt{290}}.$$

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{b)}}.$$

🧩 Exercício 10 AFA/2002Médio

Dado o número complexo $z$ tal que

$$z+2\overline z-9=3i,$$

é correto afirmar que:

Vamos escrever o número complexo $z$ na forma algébrica:

$$z=x+yi.$$

Consequentemente, seu conjugado é:

$$\overline z=x-yi.$$

Substituindo na equação:

$$z+2\overline z-9=3i,$$

temos:

$$(x+yi)+2(x-yi)-9=3i.$$

Desenvolvendo:

$$x+yi+2x-2yi-9=3i.$$

Agrupando as partes real e imaginária:

$$(3x-9)-yi=3i.$$

Como dois números complexos são iguais quando suas partes reais e imaginárias são iguais, temos:

Parte real

$$3x-9=0.$$

Logo:

$$3x=9$$$$x=3.$$

Parte imaginária

$$-y=3,$$

portanto:

$$y=-3.$$

Assim:

$$\boxed{z=3-3i}.$$

Agora vamos verificar as alternativas.

Alternativa A

O módulo de $z$ é:

$$|z| = \sqrt{3^2+(-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt2.$$

Portanto:

$$|z|\neq3\sqrt{10}.$$

A alternativa A é falsa.

Alternativa B

Temos:

$$z=3-3i.$$

Seu módulo é:

$$|z|=3\sqrt2.$$

Além disso, $z$ está no quarto quadrante, portanto seu argumento é:

$$\theta=\frac{7\pi}{4}.$$

Assim, sua forma trigonométrica é:

$$z= 3\sqrt2 \left( \cos\frac{7\pi}{4} +i\operatorname{sen}\frac{7\pi}{4} \right).$$

De fato,

$$\cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$$

e

$$\operatorname{sen}\frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Logo:

$$z= 3\sqrt2 \left( \frac{\sqrt2}{2} -i\frac{\sqrt2}{2} \right) = 3-3i.$$

Portanto, a alternativa B é verdadeira.

Alternativa C

Como

$$z=3-3i,$$

temos:

$$\overline z=3+3i,$$

e não $9-3i$.

Logo, C é falsa.

Alternativa D

Para calcular o inverso:

$$z^{-1}=\frac{1}{z} = \frac{1}{3-3i}.$$

Multiplicando pelo conjugado:

$$z^{-1} = \frac{3+3i}{(3-3i)(3+3i)}.$$

O denominador é:

$$3^2+3^2=18.$$

Portanto:

$$z^{-1} = \frac{3+3i}{18} = \frac{1+i}{6}.$$

Logo:

$$z^{-1}\neq\frac{1+i}{3}.$$

Portanto, a única alternativa correta é:

$$\boxed{\text{b)}}.$$