Matrizes

Exercício 1

🧩 Exercício 1 Médio

Considere a matriz

$$A= \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt3\\ \sqrt3 & 1 \end{pmatrix}.$$

Determine $A^{1998}$.

A ideia é reconhecer a matriz $A$ na forma de uma matriz de rotação.

Uma matriz de rotação pode ser escrita como:

$$R(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\ \operatorname{sen}\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.$$

Observe que:

$$A= \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt3\\ \sqrt3 & 1 \end{pmatrix}.$$

Colocando o fator $2$ em evidência:

$$A= 2 \begin{pmatrix} \dfrac12 & -\dfrac{\sqrt3}{2}\\[4pt] \dfrac{\sqrt3}{2} & \dfrac12 \end{pmatrix}.$$

Sabemos que:

$$\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$$

e

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}.$$

Portanto,

$$A= 2 \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{3} & -\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} \\[4pt] \operatorname{sen}\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix}.$$

Assim:

$$A=2R\left(\frac{\pi}{3}\right).$$

---

Elevando a matriz a uma potência

Temos:

$$A^{1998} = \left[ 2R\left(\frac{\pi}{3}\right) \right]^{1998}.$$

Logo:

$$A^{1998} = 2^{1998} \left[ R\left(\frac{\pi}{3}\right) \right]^{1998}.$$

Agora utilizamos a propriedade:

$$R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta).$$

Consequentemente:

$$R(\theta)^n=R(n\theta).$$

Portanto:

$$A^{1998} = 2^{1998} R\left(\frac{1998\pi}{3}\right).$$

Como:

$$\frac{1998}{3}=666,$$

temos:

$$A^{1998} = 2^{1998}R(666\pi).$$

Agora:

$$666\pi=333\cdot2\pi.$$

Como seno e cosseno são periódicos de período $2\pi$:

$$\cos(666\pi)=1$$

e

$$\operatorname{sen}(666\pi)=0.$$

Portanto:

$$R(666\pi) = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}.$$

Assim:

$$A^{1998} = 2^{1998} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}.$$

Finalmente:

$$\boxed{ A^{1998} = \begin{pmatrix} 2^{1998}&0\\ 0&2^{1998} \end{pmatrix} }.$$

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

🧩 Exercício 2 Médio

Se $\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$, prove a identidade

$$\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\operatorname{sen}\alpha\\ \operatorname{sen}\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}^{5} = \begin{pmatrix} \cos5\alpha & -\operatorname{sen}5\alpha\\ \operatorname{sen}5\alpha & \cos5\alpha \end{pmatrix}.$$

Vamos definir a matriz

$$R(\alpha)= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\operatorname{sen}\alpha\\ \operatorname{sen}\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}.$$

A ideia é mostrar que, ao multiplicarmos duas matrizes desse tipo, os ângulos se somam.

Considere:

$$R(\alpha)R(\beta) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\operatorname{sen}\alpha\\ \operatorname{sen}\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & -\operatorname{sen}\beta\\ \operatorname{sen}\beta & \cos\beta \end{pmatrix}.$$

Efetuando a multiplicação:

$$R(\alpha)R(\beta) = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta-\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta & -\cos\alpha\operatorname{sen}\beta-\operatorname{sen}\alpha\cos\beta \\[4pt] \operatorname{sen}\alpha\cos\beta+\cos\alpha\operatorname{sen}\beta & -\operatorname{sen}\alpha(-\operatorname{sen}\beta)+\cos\alpha\cos\beta \end{pmatrix}.$$

Usando as fórmulas de adição:

$$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta$$

e

$$\operatorname{sen}(\alpha+\beta) = \operatorname{sen}\alpha\cos\beta + \cos\alpha\operatorname{sen}\beta,$$

obtemos:

$$R(\alpha)R(\beta) = \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\operatorname{sen}(\alpha+\beta) \\ \operatorname{sen}(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix}.$$

Portanto:

$$\boxed{R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)}.$$

Agora podemos aplicar essa propriedade repetidamente.

Temos:

$$R(\alpha)^5 = R(\alpha)R(\alpha)R(\alpha)R(\alpha)R(\alpha).$$

Pela propriedade anterior:

$$R(\alpha)R(\alpha)=R(2\alpha),$$

então:

$$R(\alpha)^5=R(5\alpha).$$

Assim:

$$R(\alpha)^5 = \begin{pmatrix} \cos5\alpha & -\operatorname{sen}5\alpha\\ \operatorname{sen}5\alpha & \cos5\alpha \end{pmatrix}.$$

Portanto,

$$\boxed{ \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\operatorname{sen}\alpha\\ \operatorname{sen}\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}^{5} = \begin{pmatrix} \cos5\alpha & -\operatorname{sen}5\alpha\\ \operatorname{sen}5\alpha & \cos5\alpha \end{pmatrix} }.$$

🧩 Exercício 3 Fácil

Uma matriz quadrada $A$ é dita involutiva quando

$$A^2=I.$$

Uma matriz diagonal de ordem $2$ é involutiva. Determine-a.

Como $A$ é uma matriz diagonal de ordem $2$, podemos escrevê-la na forma:

$$A= \begin{pmatrix} a&0\\ 0&b \end{pmatrix}.$$

Sabemos que $A$ é involutiva. Portanto:

$$A^2=I.$$

Calculando $A^2$:

$$A^2= \begin{pmatrix} a&0\\ 0&b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&0\\ 0&b \end{pmatrix}.$$

Logo:

$$A^2= \begin{pmatrix} a^2&0\\ 0&b^2 \end{pmatrix}.$$

Como $A^2=I$, temos:

$$\begin{pmatrix} a^2&0\\ 0&b^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}.$$

Portanto:

$$a^2=1$$

e

$$b^2=1.$$

Daí:

$$a=\pm1 \qquad\text{e}\qquad b=\pm1.$$

Assim, existem quatro possibilidades:

$$\boxed{ A= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} }$$

ou

$$\boxed{ A= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} }$$

ou

$$\boxed{ A= \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} }$$

ou

$$\boxed{ A= \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} }.$$

Portanto, a resposta correta é a alternativa E.

🧩 Exercício 4 Médio

Considere as matrizes:

$$A=(a_{ij})_{3\times4}, \qquad a_{ij}=i-j,$$$$B=(b_{ij})_{4\times3}, \qquad b_{ij}=2^{i-j}.$$

Se

$$C=A\cdot B,$$

calcule o elemento $c_{32}$.

Como $C=A\cdot B$, cada elemento de $C$ é obtido multiplicando uma linha de $A$ pela coluna correspondente de $B$.

Queremos calcular $c_{32}$, ou seja, o elemento que está na 3ª linha e 2ª coluna de $C$.

Pela regra do produto de matrizes:

$$c_{32} = a_{31}b_{12} +a_{32}b_{22} +a_{33}b_{32} +a_{34}b_{42}.$$

1. Elementos da terceira linha de $A$

Como

$$a_{ij}=i-j,$$

para $i=3$, temos:

$$a_{31}=3-1=2,$$$$a_{32}=3-2=1,$$$$a_{33}=3-3=0,$$$$a_{34}=3-4=-1.$$

Portanto, a terceira linha de $A$ é:

$$\boxed{(2,\;1,\;0,\;-1)}.$$

2. Elementos da segunda coluna de $B$

Como

$$b_{ij}=2^{i-j},$$

para $j=2$, temos:

$$b_{12}=2^{1-2}=2^{-1}=\frac12,$$$$b_{22}=2^{2-2}=1,$$$$b_{32}=2^{3-2}=2,$$$$b_{42}=2^{4-2}=4.$$

Portanto, a segunda coluna de $B$ é:

$$\boxed{ \begin{pmatrix} \dfrac12\\ 1\\ 2\\ 4 \end{pmatrix} }.$$

3. Calculando $c_{32}$

Agora basta multiplicar a terceira linha de $A$ pela segunda coluna de $B$:

$$c_{32} = 2\cdot\frac12 + 1\cdot1 + 0\cdot2 + (-1)\cdot4.$$

Assim:

$$c_{32} = 1+1+0-4.$$

Logo:

$$\boxed{c_{32}=-2}.$$

Portanto, a alternativa correta é a letra B.

🧩 Exercício 5 UFSCFácil

Sejam

$$A=(a_{ij})_{4\times3} \qquad\text{e}\qquad B=(b_{ij})_{3\times4},$$

duas matrizes definidas por

$$a_{ij}=i+j$$

e

$$b_{ij}=2i+j,$$

respectivamente. Se

$$A\cdot B=C,$$

determine o elemento $c_{32}$ da matriz $C$.

Como

$$C=A\cdot B,$$

o elemento $c_{32}$ é obtido multiplicando a 3ª linha de $A$ pela 2ª coluna de $B$.

Pela regra do produto de matrizes:

$$c_{32} = a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32}.$$

1. Terceira linha de $A$

Como

$$a_{ij}=i+j,$$

para $i=3$:

$$a_{31}=3+1=4,$$$$a_{32}=3+2=5,$$$$a_{33}=3+3=6.$$

Portanto, a terceira linha de $A$ é:

$$\boxed{(4,\;5,\;6)}.$$

2. Segunda coluna de $B$

Como

$$b_{ij}=2i+j,$$

para $j=2$:

$$b_{12}=2(1)+2=4,$$$$b_{22}=2(2)+2=6,$$$$b_{32}=2(3)+2=8.$$

Logo, a segunda coluna de $B$ é:

$$\boxed{ \begin{pmatrix} 4\\ 6\\ 8 \end{pmatrix} }.$$

3. Calculando $c_{32}$

Agora fazemos o produto entre a linha e a coluna:

$$c_{32} = 4\cdot4+5\cdot6+6\cdot8.$$

Então:

$$c_{32}=16+30+48=94.$$

Portanto:

$$\boxed{c_{32}=94}.$$

🧩 Exercício 6 Fácil

Se a matriz

$$M= \begin{pmatrix} 1&a&b\\ a&2&0\\ b&k&3 \end{pmatrix}$$

é simétrica e $k=a+b+c$, então a expressão

$$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$$

é igual a:

Como a matriz $M$ é simétrica, ela deve satisfazer:

$$M=M^T.$$

Isso significa que os elementos que ocupam posições simétricas em relação à diagonal principal devem ser iguais.

Temos:

$$M= \begin{pmatrix} 1&a&b\\ a&2&0\\ b&k&3 \end{pmatrix}.$$

Comparando os elementos $(2,3)$ e $(3,2)$:

$$0=k.$$

Logo:

$$\boxed{k=0}.$$

Mas o problema informa que:

$$k=a+b+c.$$

Portanto:

$$a+b+c=0.$$

Agora queremos calcular:

$$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}.$$

Utilizamos a identidade:

$$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc).$$

Como

$$a+b+c=0,$$

o lado direito é zero. Assim:

$$a^3+b^3+c^3-3abc=0.$$

Portanto:

$$a^3+b^3+c^3=3abc.$$

Dividindo por $abc$:

$$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=3.$$

Logo:

$$\boxed{3}$$

e a alternativa correta é a letra B.

🧩 Exercício 7 AFA/2003Médio

Sejam $m$ e $n$ números reais, com $m\neq n$, e as matrizes

$$A= \begin{pmatrix} 2&1\\ 3&5 \end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B= \begin{pmatrix} -1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}.$$

Para que a matriz $mA+nB$ seja não inversível, é necessário que:

Uma matriz quadrada é não inversível quando seu determinante é igual a zero.

Primeiro, vamos calcular a matriz $mA+nB$:

$$mA= \begin{pmatrix} 2m&m\\ 3m&5m \end{pmatrix}$$

e

$$nB= \begin{pmatrix} -n&n\\ 0&n \end{pmatrix}.$$

Portanto:

$$mA+nB= \begin{pmatrix} 2m-n&m+n\\ 3m&5m+n \end{pmatrix}.$$

Para que essa matriz seja não inversível:

$$\det(mA+nB)=0.$$

Assim:

$$(2m-n)(5m+n)-(m+n)(3m)=0.$$

Desenvolvendo:

$$10m^2+2mn-5mn-n^2-3m^2-3mn=0.$$

Logo:

$$7m^2-6mn-n^2=0.$$

Fatorando:

$$(7m+n)(m-n)=0.$$

Como o enunciado estabelece que $m\neq n$, temos:

$$m-n\neq0.$$

Portanto, necessariamente:

$$7m+n=0.$$

Ou seja:

$$\boxed{n+7m=0}.$$

Logo, a alternativa correta é a letra C.

🧩 Exercício 8 AFA/1998Médio

Se os elementos da matriz $A_{3\times4}$ são definidos por

$$a_{ij}=2i-j,$$

então, o elemento $b_{23}$ da matriz

$$B=2^{-1}A\cdot A^t$$

é:

A matriz $A$ possui $3$ linhas e $4$ colunas.

Como

$$a_{ij}=2i-j,$$

podemos determinar suas linhas.

Para $i=1$:

$$a_{11}=2(1)-1=1,$$$$a_{12}=2(1)-2=0,$$$$a_{13}=2(1)-3=-1,$$$$a_{14}=2(1)-4=-2.$$

Para $i=2$:

$$a_{21}=4-1=3, \qquad a_{22}=4-2=2, \qquad a_{23}=4-3=1, \qquad a_{24}=4-4=0.$$

Para $i=3$:

$$a_{31}=6-1=5, \qquad a_{32}=6-2=4, \qquad a_{33}=6-3=3, \qquad a_{34}=6-4=2.$$

Logo:

$$A= \begin{pmatrix} 1&0&-1&-2\\ 3&2&1&0\\ 5&4&3&2 \end{pmatrix}.$$

Queremos $b_{23}$ de:

$$B=\frac12AA^t.$$

O elemento $b_{23}$ é obtido pelo produto da 2ª linha de $A$ pela 3ª coluna de $A^t$.

Como a 3ª coluna de $A^t$ corresponde à 3ª linha de $A$, temos:

$$b_{23} = \frac12 \left[ 3\cdot5+2\cdot4+1\cdot3+0\cdot2 \right].$$

Então:

$$b_{23} = \frac12(15+8+3).$$

Logo:

$$b_{23} = \frac{26}{2} = 13.$$

Portanto:

$$\boxed{b_{23}=13}.$$

A alternativa correta é a letra D.

🧩 Exercício 9 AFA/2001Fácil

As matrizes $A$, $B$ e $C$ são dos tipos $m\times3$, $n\times p$ e $4\times r$, respectivamente.

Se a matriz transposta de $ABC$ é do tipo $5\times4$, então:

Vamos analisar as dimensões das matrizes.

Temos:

$$A_{m\times3}, \qquad B_{n\times p}, \qquad C_{4\times r}.$$

Para que o produto $ABC$ exista, primeiro precisamos ter:

$$\boxed{3=n}.$$

Portanto:

$$n=3.$$

Além disso, para multiplicarmos $B$ por $C$, o número de colunas de $B$ deve ser igual ao número de linhas de $C$.

Assim:

$$p=4.$$

Portanto:

$$B_{3\times4}.$$

Agora podemos determinar a dimensão de $ABC$:

$$A_{m\times3}\cdot B_{3\times4} \cdot C_{4\times r}.$$

O resultado será uma matriz:

$$ABC_{m\times r}.$$

O enunciado informa que a transposta de $ABC$ é do tipo $5\times4$.

Se:

$$(ABC)^t_{5\times4},$$

então a matriz original $ABC$ é do tipo:

$$ABC_{4\times5}.$$

Logo:

$$m=4 \qquad\text{e}\qquad r=5.$$

Já havíamos encontrado:

$$p=4.$$

Portanto:

$$\boxed{m=p}.$$

A alternativa correta é a letra A.

🧩 Exercício 10 EFOMM/2004Fácil

Seja $A$ a matriz inversa da matriz

$$B= \begin{pmatrix} \dfrac13&0\\[8pt] \dfrac17&1 \end{pmatrix}.$$

Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz $A$.

Sabemos que $A$ é a matriz inversa de $B$:

$$A=B^{-1}.$$

Para uma matriz

$$B= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix},$$

sua inversa é:

$$B^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}.$$

No nosso caso:

$$a=\frac13, \qquad b=0, \qquad c=\frac17, \qquad d=1.$$

O determinante é:

$$\det(B) = \frac13\cdot1-0\cdot\frac17 = \frac13.$$

Logo:

$$A = 3 \begin{pmatrix} 1&0\\[4pt] -\frac17&\frac13 \end{pmatrix}.$$

Multiplicando:

$$A= \begin{pmatrix} 3&0\\[4pt] -\frac37&1 \end{pmatrix}.$$

Os elementos da diagonal principal são $3$ e $1$.

Portanto, a soma é:

$$3+1=4.$$

Assim:

$$\boxed{4}.$$

A alternativa correta é a letra B.