Geometria Plana

🧩 Exercício 1 ITA/2010Fácil

Considere um quadrilátero $ABCD$ cujas diagonais $AC$ e $BD$ medem, respectivamente, $5\,\text{cm}$ e $6\,\text{cm}$. Se $R$, $S$, $T$ e $U$ são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero $RSTU$ vale:

Como $R$, $S$, $T$ e $U$ são os pontos médios dos lados de $ABCD$, podemos utilizar o Teorema de Varignon.

O quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero é um paralelogramo.

Além disso, seus lados possuem comprimentos iguais à metade das diagonais do quadrilátero original.

Assim, dois lados de $RSTU$ medem:

$$\frac{AC}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5\,\text{cm},$$

enquanto os outros dois medem:

$$\frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\text{cm}.$$

Portanto, o perímetro de $RSTU$ é:

$$P=2(2{,}5)+2(3).$$

Logo:

$$P=5+6=11\,\text{cm}.$$

Portanto:

$$\boxed{P=11\,\text{cm}}.$$

A alternativa correta é a letra D.

🧩 Exercício 2 ITAFácil

Dadas as afirmações:

I – Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares;

II – Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares;

III – Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então este paralelogramo é um losango.

Podemos concluir que:

Vamos analisar cada afirmação separadamente.

Afirmação I

Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares.

Isso é falso.

Em um quadrilátero qualquer, não há garantia de que os ângulos opostos sejam suplementares.

Essa propriedade ocorre, por exemplo, em um quadrilátero inscritível, mas não em qualquer quadrilátero.

Portanto:

$$\boxed{\text{I é falsa.}}$$

Afirmação II

Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.

Essa afirmação é verdadeira.

Em um paralelogramo, os lados opostos são paralelos. Assim, dois ângulos consecutivos são internos do mesmo lado de uma transversal e, portanto, possuem soma igual a $180^\circ$.

Logo:

$$\boxed{\alpha+\beta=180^\circ}$$

e, portanto:

$$\boxed{\text{II é verdadeira.}}$$

Afirmação III

Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então este paralelogramo é um losango.

Essa afirmação também é verdadeira.

Todo paralelogramo possui diagonais que se bissetam mutuamente. Portanto, a informação de que elas se cruzam em seus pontos médios já é uma propriedade dos paralelogramos.

Agora, se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares, podemos mostrar que seus quatro lados possuem o mesmo comprimento.

Considere as diagonais $AC$ e $BD$, que se cruzam em $O$.

Como as diagonais de um paralelogramo se bissetam:

$$AO=OC \qquad\text{e}\qquad BO=OD.$$

Como as diagonais são perpendiculares:

$$\angle AOB=90^\circ.$$

Nos triângulos retângulos $AOB$, $BOC$, $COD$ e $DOA$, temos pares de catetos iguais devido às propriedades das diagonais.

Pelo Teorema de Pitágoras:

$$AB^2=AO^2+BO^2$$

e

$$BC^2=BO^2+OC^2.$$

Como $AO=OC$:

$$AB^2=BC^2.$$

Logo:

$$AB=BC.$$

Em um paralelogramo, lados opostos possuem o mesmo comprimento. Portanto:

$$AB=BC=CD=DA.$$

Assim, o paralelogramo possui os quatro lados congruentes, sendo, portanto, um losango.

Logo:

$$\boxed{\text{III é verdadeira.}}$$

Conclusão

Temos:

$$\text{I: falsa}$$$$\text{II: verdadeira}$$$$\text{III: verdadeira}$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{C) Apenas II e III são verdadeiras.}}$$

🧩 Exercício 3 ITAFácil

Num triângulo $ABC$, $BC=4\,\text{cm}$, o ângulo $C$ mede $30^\circ$ e a projeção do lado $AB$ sobre $BC$ mede $2{,}5\,\text{cm}$. O comprimento da mediana que sai do vértice $A$ vale:

Seja $H$ a projeção de $A$ sobre a reta $BC$.

Como a projeção do lado $AB$ sobre $BC$ mede $2{,}5\,\text{cm}$, temos:

$$BH=2{,}5\,\text{cm}.$$

Como:

$$BC=4\,\text{cm},$$

segue que:

$$CH=BC-BH=4-2{,}5=1{,}5\,\text{cm}.$$

Observe agora o triângulo retângulo $ACH$.

Como $\angle C=30^\circ$:

$$\tan30^\circ=\frac{AH}{CH}.$$

Sabendo que:

$$\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt3},$$

temos:

$$\frac{AH}{1{,}5}=\frac{1}{\sqrt3}.$$

Portanto:

$$AH=\frac{1{,}5}{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{2}\,\text{cm}.$$

Agora seja $M$ o ponto médio de $BC$.

Como $BC=4\,\text{cm}$:

$$BM=MC=2\,\text{cm}.$$

Como $BH=2{,}5\,\text{cm}$, temos:

$$HM=BH-BM =2{,}5-2 =0{,}5\,\text{cm}.$$

A mediana procurada é $AM$. O triângulo $AHM$ é retângulo, então:

$$AM^2=AH^2+HM^2.$$

Substituindo:

$$AM^2= \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+ \left(\frac12\right)^2.$$

Assim:

$$AM^2=\frac34+\frac14=1.$$

Logo:

$$\boxed{AM=1\,\text{cm}}.$$

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

🧩 Exercício 4 ITA/2005Fácil

Considere um triângulo isósceles inscrito em uma circunferência. Se a base e a altura deste triângulo medem $8\,\text{cm}$, então o raio desta circunferência mede:

Seja $ABC$ o triângulo isósceles, com base

$$BC=8\,\text{cm}$$

e altura

$$AH=8\,\text{cm}.$$

Como o triângulo é isósceles, a altura relativa à base também é mediana. Portanto:

$$BH=HC=\frac{BC}{2}=4\,\text{cm}.$$

Podemos então determinar o comprimento dos lados iguais usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $ABH$:

$$AB^2=AH^2+BH^2.$$

Substituindo:

$$AB^2=8^2+4^2$$$$AB^2=64+16=80.$$

Logo:

$$AB=4\sqrt5\,\text{cm}.$$

Como o triângulo é isósceles:

$$AC=4\sqrt5\,\text{cm}.$$

Agora calculamos sua área:

$$\Delta=\frac{BC\cdot AH}{2}.$$

Assim:

$$\Delta=\frac{8\cdot8}{2}=32\,\text{cm}^2.$$

Para um triângulo inscrito em uma circunferência, vale a relação:

$$\Delta=\frac{abc}{4R},$$

onde $R$ é o raio da circunferência.

Portanto:

$$R=\frac{abc}{4\Delta}.$$

Neste caso:

$$a=8,\qquad b=c=4\sqrt5.$$

Então:

$$R= \frac{8\cdot4\sqrt5\cdot4\sqrt5}{4\cdot32}.$$

Como

$$(4\sqrt5)^2=80,$$

temos:

$$R=\frac{8\cdot80}{128}.$$

Logo:

$$R=5\,\text{cm}.$$

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

$$\boxed{R=5\,\text{cm}}$$

🧩 Exercício 5 ITA/2010Médio

O número de diagonais de um polígono regular de $2n$ lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a este polígono, é dado por:

Vamos primeiro determinar o número total de diagonais de um polígono de $2n$ lados.

Escolhendo um vértice qualquer, podemos ligá-lo aos outros $2n-1$ vértices.

Entretanto, duas dessas ligações são lados do polígono, e não diagonais.

Assim, de cada vértice partem:

$$(2n-1)-2=2n-3$$

diagonais.

Como existem $2n$ vértices, poderíamos pensar que o número total de diagonais seria:

$$2n(2n-3).$$

Porém, cada diagonal foi contada duas vezes: uma vez a partir de cada uma de suas extremidades.

Por exemplo, a diagonal que liga os vértices $A$ e $D$ é contada tanto quando partimos de $A$ quanto quando partimos de $D$.

Por isso, devemos dividir por $2$:

$$D_{\text{total}} = \frac{2n(2n-3)}{2}.$$

Portanto:

$$D_{\text{total}}=n(2n-3).$$

---

Diagonais que passam pelo centro

Como o polígono é regular e possui $2n$ lados, uma diagonal passa pelo centro da circunferência quando liga dois vértices diametralmente opostos.

Cada vértice possui exatamente um vértice diametralmente oposto.

Assim, temos $2n$ vértices formando pares de vértices opostos. Cada par determina uma única diagonal que passa pelo centro.

Logo, existem:

$$n$$

diagonais que passam pelo centro.

Portanto, o número de diagonais que não passam pelo centro é:

$$D=n(2n-3)-n.$$

Desenvolvendo:

$$D=2n^2-3n-n$$$$D=2n^2-4n.$$

Colocando $2n$ em evidência:

$$\boxed{D=2n(n-2)}.$$

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

🧩 Exercício 6 ITAFácil

Num triângulo $ABC$, retângulo em $\hat A$, temos $\hat B=60^\circ$. As bissetrizes destes ângulos se encontram num ponto $D$. Se o segmento de reta $BD$ mede $1\,\text{cm}$, a hipotenusa mede:

Como o triângulo é retângulo em $A$ e possui

$$\widehat B=60^\circ,$$

temos:

$$\widehat C=30^\circ.$$

Portanto, $ABC$ é um triângulo $30^\circ-60^\circ-90^\circ$.

Seja $r$ o raio da circunferência inscrita no triângulo.

Como $D$ é o encontro das bissetrizes, $D$ é o incentro do triângulo.

A distância do incentro $D$ até os lados do triângulo é sempre $r$.

Como $BD$ é bissetriz do ângulo $B$, temos:

$$\angle ABD=30^\circ.$$

Considere a distância de $D$ ao lado $AB$. Traçando a perpendicular de $D$ até $AB$, obtemos um triângulo retângulo no qual:

$$\sin30^\circ=\frac{r}{BD}.$$

Como

$$BD=1$$

e

$$\sin30^\circ=\frac12,$$

segue que:

$$\frac12=\frac{r}{1}.$$

Logo:

$$\boxed{r=\frac12}.$$

---

Agora vamos relacionar o raio $r$ com os lados do triângulo.

Seja $AC=x$ o menor cateto.

Como o triângulo é $30^\circ-60^\circ-90^\circ$:

$$AB=x\sqrt3$$

e

$$BC=2x.$$

Para um triângulo retângulo, o raio da circunferência inscrita é:

$$r=\frac{a+b-c}{2},$$

onde $a$ e $b$ são os catetos e $c$ é a hipotenusa.

Assim:

$$\frac12 = \frac{x+x\sqrt3-2x}{2}.$$

Simplificando:

$$\frac12 = \frac{x(\sqrt3-1)}{2}.$$

Multiplicando por $2$:

$$1=x(\sqrt3-1).$$

Portanto:

$$x=\frac{1}{\sqrt3-1}.$$

Racionalizando:

$$x= \frac{\sqrt3+1}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}$$$$x=\frac{\sqrt3+1}{2}.$$

A hipotenusa é $2x$, portanto:

$$BC=2\cdot\frac{\sqrt3+1}{2}.$$

Logo:

$$\boxed{BC=1+\sqrt3\,\text{cm}}.$$

Portanto, a alternativa correta é a letra B.

🧩 Exercício 7 ITA/2013Médio

Consideremos um triângulo retângulo que simultaneamente está circunscrito à circunferência $C_1$ e inscrito à circunferência $C_2$. Sabendo-se que a soma dos comprimentos dos catetos do triângulo é $k\,\text{cm}$, qual será a soma dos comprimentos destas duas circunferências?

Seja o triângulo retângulo de catetos $a$ e $b$ e hipotenusa $c$.

Temos:

$$a+b=k.$$

A circunferência $C_1$ é a circunferência inscrita no triângulo, cujo raio será denotado por $r$.

A circunferência $C_2$ é a circunferência circunscrita ao triângulo, cujo raio será denotado por $R$.

Queremos calcular:

$$2\pi r+2\pi R = 2\pi(r+R).$$

Relação entre $r$ e $R$

Para um triângulo retângulo, o raio da circunferência circunscrita é metade da hipotenusa:

$$R=\frac{c}{2}.$$

Por outro lado, o raio da circunferência inscrita em um triângulo retângulo satisfaz:

$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$

Portanto:

$$r+R = \frac{a+b-c}{2}+\frac{c}{2}.$$

Assim:

$$r+R = \frac{a+b}{2}.$$

Como $a+b=k$:

$$\boxed{r+R=\frac{k}{2}}.$$

Soma dos comprimentos das circunferências

O comprimento de uma circunferência de raio $r$ é:

$$2\pi r.$$

Logo, a soma dos comprimentos das duas circunferências é:

$$2\pi r+2\pi R = 2\pi(r+R).$$

Substituindo $r+R=\dfrac{k}{2}$:

$$2\pi(r+R) = 2\pi\cdot\frac{k}{2}.$$

Portanto:

$$\boxed{\pi k\,\text{cm}}.$$

A alternativa correta é a letra E.

🧩 Exercício 8 ITA/2006Médio

Um triângulo tem lados medindo $3$, $4$ e $5$ centímetros. A partir dele, constrói-se uma sequência de triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte.

Dentre as alternativas abaixo, o valor em centímetros quadrados que está mais próximo da soma das áreas dos $78$ primeiros triângulos assim construídos, incluindo o triângulo inicial, é:

O triângulo inicial possui lados $3$, $4$ e $5$ cm. Como

$$3^2+4^2=5^2,$$

ele é um triângulo retângulo.

Assim, sua área é:

$$A_1=\frac{3\cdot4}{2}=6\,\text{cm}^2.$$

Relação entre as áreas

Quando tomamos os pontos médios dos lados de um triângulo e os utilizamos como vértices de um novo triângulo, cada lado do novo triângulo mede metade do lado correspondente do triângulo anterior.

Portanto, o novo triângulo é semelhante ao anterior com razão de semelhança:

$$\frac{1}{2}.$$

Como a área varia com o quadrado da razão de semelhança:

$$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac12\right)^2 = \frac14.$$

Logo:

$$A_2=\frac14A_1,$$

e, sucessivamente,

$$A_3=\frac14A_2,\qquad A_4=\frac14A_3,\quad\ldots$$

Assim, as áreas formam uma progressão geométrica:

$$6,\quad 6\left(\frac14\right),\quad 6\left(\frac14\right)^2,\quad \ldots$$

Como queremos a soma das áreas dos $78$ primeiros triângulos, temos uma soma de uma PG finita:

$$S_{78} = 6\left[ 1+\frac14+ \left(\frac14\right)^2+ \cdots+ \left(\frac14\right)^{77} \right].$$

Usando a fórmula da soma de uma PG:

$$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q},$$

obtemos:

$$S_{78} = 6\cdot \frac{1-\left(\frac14\right)^{78}} {1-\frac14}.$$

Como

$$1-\frac14=\frac34,$$

temos:

$$S_{78} = 6\cdot\frac{1-\left(\frac14\right)^{78}}{3/4}.$$

Portanto:

$$S_{78} = 8\left[1-\left(\frac14\right)^{78}\right].$$

Como $\left(\frac14\right)^{78}$ é um número extremamente pequeno,

$$S_{78}\approx 8.$$

Logo, o valor mais próximo é:

$$\boxed{8\,\text{cm}^2}.$$

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

🧩 Exercício 9 ITAMédio

Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos dois lados paralelos é igual a $18\,\text{cm}$ e a diferença dos dois outros lados é igual a $2\,\text{cm}$. Se $r$ é o raio da circunferência inscrita e $a$ é o comprimento do menor lado do trapézio, então a soma $a+r$, em centímetros, é igual a:

Considere um trapézio retângulo circunscrito a uma circunferência.

Vamos chamar os lados paralelos de $B$ e $b$, sendo $B>b$, e os outros dois lados de $h$ e $l$, onde $h$ é o lado perpendicular às bases.

Como o trapézio é circunscritível, existe uma propriedade fundamental dos quadriláteros circunscritos:

$$\boxed{\text{soma de dois lados opostos}= \text{soma dos outros dois lados opostos}}.$$

Portanto:

$$B+b=h+l.$$

O enunciado informa que:

$$B+b=18.$$

Logo:

$$h+l=18.$$

Também sabemos que a diferença entre os outros dois lados é $2$:

$$l-h=2.$$

Temos, então, o sistema:

$$\begin{cases} h+l=18\\ l-h=2 \end{cases}$$

Somando as duas equações:

$$2l=20$$

e, portanto:

$$l=10.$$

Consequentemente:

$$h=8.$$

Assim, os dois lados não paralelos medem $8$ cm e $10$ cm.

---

Determinando as bases

Como o trapézio é retângulo, podemos observar a diferença entre as bases.

Ao traçarmos uma perpendicular da extremidade da base menor até a base maior, forma-se um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o lado inclinado de $10$ cm e cujo cateto vertical é $8$ cm.

Se $d$ representa a diferença entre as bases, pelo Teorema de Pitágoras:

$$d^2+8^2=10^2.$$

Logo:

$$d^2=100-64=36.$$

Portanto:

$$d=6.$$

Assim:

$$B-b=6.$$

Como já sabemos que:

$$B+b=18,$$

temos:

$$\begin{cases} B+b=18\\ B-b=6 \end{cases}$$

Somando:

$$2B=24$$

e:

$$B=12.$$

Consequentemente:

$$b=6.$$

Portanto, os quatro lados do trapézio medem:

$$12,\quad 6,\quad 8,\quad 10.$$

O menor lado é, portanto:

$$\boxed{a=6}.$$

---

Determinando o raio da circunferência inscrita

A circunferência é tangente às duas bases paralelas.

A distância entre duas retas paralelas tangentes a uma mesma circunferência é igual ao diâmetro da circunferência.

Logo, a altura do trapézio é:

$$h=2r.$$

Como:

$$h=8,$$

temos:

$$2r=8.$$

Assim:

$$\boxed{r=4}.$$

Finalmente:

$$a+r=6+4.$$

Portanto:

$$\boxed{a+r=10\,\text{cm}}.$$

A alternativa correta é a letra C.

🧩 Exercício 10 UFRGS 2022Fácil

Na figura abaixo, $ABCD$ é um quadrado de lado $\alpha$ e $AB$ e $BD$ são arcos de circunferência. A área da região sombreada é:

🧩 Exercício 11 ITAFácil

Considere o triângulo $ABC$, onde $\overline{AD}$ é a mediana relativa ao lado $\overline{BC}$. Por um ponto arbitrário $M$ do segmento $\overline{BD}$, tracemos o segmento $\overline{MP}$ paralelo a $\overline{AD}$, onde $P$ é o ponto de interseção desta paralela com o prolongamento do lado $\overline{AC}$. Se $N$ é o ponto de interseção de $\overline{AB}$ com $\overline{MP}$, podemos afirmar que:

Como $AD$ é mediana do triângulo $ABC$, o ponto $D$ é o ponto médio de $BC$. Portanto,

$$BD=DC=\frac{BC}{2}$$

Calculando $MP$

Como $MP\parallel AD$, os triângulos $\Delta MPC$ e $\Delta DAC$ são semelhantes.

Assim,

$$\frac{MP}{AD}=\frac{MC}{DC}$$

Como $DC=\frac{BC}{2}$, temos:

$$MP=\frac{MC}{BC/2}AD$$

Logo,

$$MP=\frac{2MC}{BC}AD$$

Calculando $MN$

Como $MN\parallel AD$, os triângulos $\Delta BMN$ e $\Delta BDA$ também são semelhantes.

Portanto,

$$\frac{MN}{AD}=\frac{BM}{BD}$$

Como $BD=\frac{BC}{2}$,

$$MN=\frac{BM}{BC/2}AD$$

Logo,

$$MN=\frac{2BM}{BC}AD$$

Somando $MN$ e $MP$

Agora, somamos as duas expressões:

$$MN+MP=\frac{2BM}{BC}AD+\frac{2MC}{BC}AD$$

Colocando $\frac{2AD}{BC}$ em evidência:

$$MN+MP=\frac{2AD}{BC}(BM+MC)$$

Como os pontos $B$, $M$ e $C$ são colineares,

$$BM+MC=BC$$

Assim,

$$MN+MP=\frac{2AD}{BC}\cdot BC$$

Portanto,

$$\boxed{MN+MP=2AD}$$

Logo, a alternativa correta é a D.

🧩 Exercício 12 ITAFácil

Se num quadrilátero convexo de área $S$, o ângulo agudo entre as diagonais mede $\frac{\pi}{6}$ radianos, então o produto do comprimento destas diagonais é igual a:

Sejam $d_1$ e $d_2$ os comprimentos das diagonais do quadrilátero e seja $\theta$ o ângulo agudo formado entre elas.

Seja $O$ o ponto de interseção das diagonais. Ao traçarmos as diagonais, o quadrilátero fica dividido em quatro triângulos.

A área de um triângulo pode ser calculada pela expressão:

$$A=\frac{1}{2}\cdot\text{lado}\cdot\text{lado}\cdot\operatorname{sen}\theta$$

Assim, as áreas dos quatro triângulos são:

$$S_1=\frac{1}{2}AO\cdot BO\operatorname{sen}\theta$$$$S_2=\frac{1}{2}BO\cdot CO\operatorname{sen}\theta$$$$S_3=\frac{1}{2}CO\cdot DO\operatorname{sen}\theta$$$$S_4=\frac{1}{2}DO\cdot AO\operatorname{sen}\theta$$

Somando as quatro áreas:

$$S= \frac{1}{2}\operatorname{sen}\theta \left( AO\cdot BO+ BO\cdot CO+ CO\cdot DO+ DO\cdot AO \right)$$

Podemos fatorar essa expressão:

$$S= \frac{1}{2}\operatorname{sen}\theta \left( AO+CO \right) \left( BO+DO \right)$$

Como $AO+CO=d_1$ e $BO+DO=d_2$, temos:

$$S=\frac{1}{2}d_1d_2\operatorname{sen}\theta$$

Portanto, demonstramos que a área de um quadrilátero convexo pode ser escrita em função do comprimento de suas diagonais e do ângulo entre elas.

Neste problema,

$$\theta=\frac{\pi}{6}$$

e

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$$

Substituindo esses valores na expressão da área:

$$S=\frac{1}{2}d_1d_2\cdot\frac{1}{2}$$

Logo,

$$S=\frac{d_1d_2}{4}$$

Multiplicando ambos os lados por $4$:

$$d_1d_2=4S$$

Portanto, o produto dos comprimentos das diagonais é:

$$\boxed{4S}$$

Logo, a alternativa correta é a D.

🧩 Exercício 13 ITAMédio

Na figura abaixo, temos um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio $r$ e seis outras semicircunferências com centros nos pontos médios dos lados do hexágono e cujos diâmetros são iguais ao lado do hexágono. Calcule a área da superfície sombreada.

Como o hexágono é regular e está inscrito em uma circunferência de raio $r$, seu lado também possui comprimento $r.$

Portanto, cada semicircunferência possui diâmetro $r$ e raio:

$$\frac{r}{2}$$

Área das seis semicircunferências

A área de uma semicircunferência é:

$$A_s=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{r}{2}\right)^2$$

Logo,

$$A_s=\frac{\pi r^2}{8}$$

Como existem seis semicircunferências:

$$A_{6s}=6\cdot\frac{\pi r^2}{8}$$

Assim,

$$A_{6s}=\frac{3\pi r^2}{4}$$

Área das partes internas à circunferência

Cada lado do hexágono determina, na circunferência maior, um arco de $60^\circ$.

A região entre esse arco e o lado do hexágono é um segmento circular.

A área do setor correspondente é:

$$A_{\text{setor}} = \frac{60^\circ}{360^\circ}\pi r^2$$

Portanto,

$$A_{\text{setor}}=\frac{\pi r^2}{6}$$

O triângulo formado pelo centro da circunferência e pelas extremidades de um lado do hexágono é equilátero, pois seus três lados medem $r$.

Logo, sua área é:

$$A_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2$$

Assim, a área de um segmento circular é:

$$A_{\text{seg}} = \frac{\pi r^2}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}r^2$$

Como existem seis segmentos iguais:

$$A_{6\text{seg}} = 6\left( \frac{\pi r^2}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 \right)$$

Logo,

$$A_{6\text{seg}} = \pi r^2-\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$$

Área sombreada

A região sombreada corresponde às seis semicircunferências, retirando as partes que ficam dentro da circunferência maior.

Portanto,

$$A_{\text{sombreada}} = \frac{3\pi r^2}{4} - \left( \pi r^2-\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2 \right)$$

Distribuindo o sinal negativo:

$$A_{\text{sombreada}} = \frac{3\pi r^2}{4} - \pi r^2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$$

Como

$$\frac{3\pi}{4}-\pi=-\frac{\pi}{4},$$

temos:

$$A_{\text{sombreada}} = \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{4} \right)r^2$$

Portanto,

$$\boxed{ A_{\text{sombreada}} = \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{4} \right)r^2 }$$

Logo, a alternativa correta é a C.

🧩 Exercício 14 ITAMédio

Do triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$, inscrito em uma circunferência de raio $R=2\,cm$, sabe-se que o lado $\overline{BC}$ mede $2\,cm$ e o ângulo interno $\widehat{ABC}$ mede $30^\circ$. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem comprimento, em $cm$, igual a:

Como o triângulo está inscrito em uma circunferência de raio $R=2\,cm$, podemos utilizar a relação entre um lado do triângulo e o raio da circunferência circunscrita:

$$a=2R\operatorname{sen}A$$

onde $a=\overline{BC}$ é o lado oposto ao ângulo $A$.

Como $BC=2$ e $R=2$, temos:

$$2=2\cdot2\operatorname{sen}A$$

Logo,

$$\operatorname{sen}A=\frac{1}{2}$$

Como o ângulo $B=30^\circ$ e o triângulo possui $A+B+C=180^\circ$, a configuração da figura determina:

$$A=30^\circ$$

e, portanto,

$$C=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ$$

Calculando os lados

Já sabemos que:

$$BC=2$$

Pela relação $a=2R\operatorname{sen}A$, temos:

$$BC=4\operatorname{sen}30^\circ=2$$

Para o lado $\overline{AB}$, que é oposto ao ângulo $C=120^\circ$:

$$AB=2R\operatorname{sen}120^\circ$$

Assim,

$$AB=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Logo,

$$AB=2\sqrt{3}$$

Portanto, os lados do triângulo são:

$$2,\quad 2,\quad 2\sqrt{3}$$

Calculando a área do triângulo

Utilizando os lados $AB=2\sqrt{3}$ e $BC=2$, que formam o ângulo $B=30^\circ$:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\operatorname{sen}30^\circ$$

Substituindo:

$$S=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot2\cdot\frac{1}{2}$$

Portanto,

$$S=\sqrt{3}$$

Calculando o raio da circunferência inscrita

Sabemos que a área de um triângulo pode ser escrita como:

$$S=pr$$

onde $p$ é o semiperímetro e $r$ é o raio da circunferência inscrita.

O semiperímetro é:

$$p=\frac{2+2+2\sqrt{3}}{2}$$

Logo,

$$p=2+\sqrt{3}$$

Como $S=\sqrt{3}$:

$$\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})r$$

Assim,

$$r=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Racionalizando:

$$r=\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$$

Como

$$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1$$

temos:

$$r=2\sqrt{3}-3$$

Portanto,

$$\boxed{r=2\sqrt{3}-3}$$

Logo, a alternativa correta é a D.

🧩 Exercício 15 ITAFácil

Sejam as afirmações:

I Por um ponto passa uma única reta.

II Um ponto e uma reta determinam um plano.

III Se dois pontos de uma reta determinam um plano, então a reta está contida nesse plano.

IV Por um ponto situado fora de uma reta, existe uma reta paralela à reta dada.

Podemos garantir que:

Vamos analisar cada afirmação.

Afirmação I

A afirmação diz:

Por um ponto passa uma única reta.

Isso é falso, pois por um único ponto podemos traçar infinitas retas.

A unicidade ocorre quando consideramos dois pontos distintos: por dois pontos distintos passa uma única reta.

Portanto,

$$\boxed{\text{I é falsa}}$$

Afirmação II

A afirmação diz que um ponto e uma reta determinam um plano.

Isso só é garantido quando o ponto está fora da reta. Nesse caso, existe um único plano que contém a reta e o ponto.

Como a afirmação não especifica que o ponto está fora da reta, não podemos garantir que ela seja verdadeira.

Portanto,

$$\boxed{\text{II é falsa}}$$

Afirmação III

A afirmação diz que dois pontos de uma reta determinam um plano.

Entretanto, dois pontos distintos determinam uma reta, e não um plano.

Para determinar um plano, são necessários, por exemplo, três pontos não colineares.

Portanto,

$$\boxed{\text{III é falsa}}$$

Afirmação IV

A afirmação diz que, por um ponto situado fora de uma reta, existe uma reta paralela à reta dada.

Essa afirmação é verdadeira. Pela geometria euclidiana, por um ponto exterior a uma reta passa uma única reta paralela à reta dada.

Portanto,

$$\boxed{\text{IV é verdadeira}}$$

Assim, temos:

$$\text{I: Falsa}$$$$\text{II: Falsa}$$$$\text{III: Falsa}$$$$\text{IV: Verdadeira}$$

Logo, entre as alternativas apresentadas, a afirmação correta é:

$$\boxed{\text{B) I e II são falsas}}$$

🧩 Exercício 16 ITAFácil

Os lados de um triângulo medem $a$, $b$ e $c$ centímetros. Qual o valor do ângulo interno desse triângulo, oposto ao lado que mede $a$ centímetros, se forem satisfeitas as relações: $3a=7c$ e $3b=8c$.

Das relações fornecidas, podemos escrever os lados do triângulo em função de $c$.

Da primeira relação,

$$3a=7c$$

portanto,

$$a=\frac{7c}{3}$$

Da segunda relação,

$$3b=8c$$

logo,

$$b=\frac{8c}{3}$$

Assim, os lados são proporcionais a:

$$a:b:c=7:8:3$$

Seja $A$ o ângulo interno oposto ao lado $a$.

Aplicando a Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos fornece:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\operatorname{cos}A$$

Isolando $\operatorname{cos}A$:

$$\operatorname{cos}A= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

Como os lados são proporcionais a $7$, $8$ e $3$, podemos substituir:

$$\operatorname{cos}A= \frac{8^2+3^2-7^2}{2\cdot8\cdot3}$$

Calculando:

$$\operatorname{cos}A= \frac{64+9-49}{48}$$$$\operatorname{cos}A=\frac{24}{48}$$

Logo,

$$\operatorname{cos}A=\frac{1}{2}$$

Sabemos que:

$$\operatorname{cos}60^\circ=\frac{1}{2}$$

Portanto,

$$\boxed{A=60^\circ}$$

Logo, a alternativa correta é a B.

🧩 Exercício 17 ITAMédio

Os catetos $b$ e $c$ de um triângulo retângulo de altura $h$ (relativa à hipotenusa) são dados pelas seguintes expressões:

$$b=\sqrt{k+\frac{1}{k}} \qquad\text{e}\qquad c=\sqrt{k-\frac{1}{k}}$$

onde $k$ é um número real maior que $1$. Calcule o valor de $h$ em função de $k$.

Como $b$ e $c$ são os catetos do triângulo retângulo, podemos determinar a hipotenusa $a$ pelo Teorema de Pitágoras:

$$a^2=b^2+c^2$$

Substituindo as expressões dadas:

$$a^2= \left(k+\frac{1}{k}\right) + \left(k-\frac{1}{k}\right)$$

Os termos $\frac{1}{k}$ se cancelam:

$$a^2=2k$$

Logo,

$$a=\sqrt{2k}$$

Calculando a altura relativa à hipotenusa

A área do triângulo pode ser calculada de duas maneiras.

Usando os catetos:

$$S=\frac{bc}{2}$$

Usando a hipotenusa $a$ e a altura $h$:

$$S=\frac{ah}{2}$$

Igualando as duas expressões:

$$\frac{bc}{2}=\frac{ah}{2}$$

Portanto,

$$bc=ah$$

e

$$h=\frac{bc}{a}$$

Agora calculamos $bc$:

$$bc= \sqrt{\left(k+\frac{1}{k}\right) \left(k-\frac{1}{k}\right)}$$

Utilizando o produto da soma pela diferença:

$$bc= \sqrt{k^2-\frac{1}{k^2}}$$

Colocando em um único denominador:

$$bc= \sqrt{\frac{k^4-1}{k^2}}$$

Como $k>1$, temos $k>0$, portanto:

$$bc=\frac{\sqrt{k^4-1}}{k}$$

Como $a=\sqrt{2k}$, segue que:

$$h= \frac{\sqrt{k^4-1}}{k\sqrt{2k}}$$

Elevando ao quadrado para simplificar:

$$h^2= \frac{k^4-1}{2k^3}$$

Logo,

$$\boxed{h=\sqrt{\frac{k^4-1}{2k^3}}}$$

Portanto, a alternativa correta é a B.

🧩 Exercício 18 Fácil

Dado um triângulo equilátero $ABC$ e um ponto qualquer $P$ em seu interior, mostre que a soma das distâncias desse ponto aos lados do triângulo é igual à altura do triângulo.

Seja $ABC$ um triângulo equilátero de lado $a$ e altura $h$. Considere um ponto $P$ qualquer em seu interior.

Traçamos as perpendiculares de $P$ aos lados do triângulo, obtendo as distâncias $x$, $y$ e $z$.

Decompondo a área do triângulo

As três perpendiculares dividem o triângulo original em três triângulos menores.

Como todos possuem base de comprimento $a$, suas áreas são:

$$S_1=\frac{ax}{2}$$$$S_2=\frac{ay}{2}$$$$S_3=\frac{az}{2}$$

A área do triângulo equilátero é:

$$S=\frac{ah}{2}$$

Como a soma das áreas dos três triângulos menores é igual à área do triângulo original, temos:

$$\frac{ah}{2} = \frac{ax}{2}+\frac{ay}{2}+\frac{az}{2}$$

Colocando $\frac{a}{2}$ em evidência:

$$\frac{ah}{2} = \frac{a}{2}(x+y+z)$$

Como $a>0$, podemos simplificar:

$$h=x+y+z$$

Portanto,

$$\boxed{x+y+z=h}$$

Concluímos que a soma das distâncias de qualquer ponto interior aos três lados de um triângulo equilátero é igual à altura desse triângulo.

Essa propriedade é conhecida como Teorema de Viviani.

🧩 Exercício 19 ITAMédio

A pergunta: “Existe $x$ real tal que os números reais $e^x$, $1+e^x$ e $1-e^x$ são as tangentes dos ângulos internos de um triângulo?” admite a seguinte resposta:

Sejam $A$, $B$ e $C$ os ângulos internos de um triângulo. Sabemos que:

$$A+B+C=180^\circ$$

Como os números dados são tangentes desses ângulos, podemos utilizar a identidade trigonométrica:

$$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$$

Essa identidade decorre da relação $A+B+C=180^\circ$.

Substituindo os valores dados

De acordo com o enunciado, temos:

$$\tan A=e^x$$$$\tan B=1+e^x$$$$\tan C=1-e^x$$

Substituindo na identidade:

$$e^x+(1+e^x)+(1-e^x) = e^x(1+e^x)(1-e^x)$$

Simplificando o lado esquerdo:

$$2+e^x=e^x(1+e^x)(1-e^x)$$

Utilizando o produto da soma pela diferença:

$$(1+e^x)(1-e^x)=1-e^{2x}$$

Logo,

$$2+e^x=e^x(1-e^{2x})$$

Desenvolvendo:

$$2+e^x=e^x-e^{3x}$$

Subtraindo $e^x$ dos dois lados:

$$2=-e^{3x}$$

Portanto,

$$e^{3x}=-2$$

Analisando a possibilidade de solução

Sabemos que a função exponencial é sempre positiva para qualquer número real $x$:

$$e^{3x}>0$$

Assim, é impossível que:

$$e^{3x}=-2$$

Portanto, não existe número real $x$ que satisfaça as condições do enunciado.

$$\boxed{\text{Não existe }x\in\mathbb{R}}$$

Logo, a alternativa correta é a A.

🧩 Exercício 20 ITAFácil

Numa circunferência, inscreve-se um quadrilátero convexo $ABCD$ tal que $\widehat{ABC}=70^\circ$. Se $x=\widehat{ACB}+\widehat{BDC}$, então:

Como o quadrilátero $ABCD$ está inscrito em uma circunferência, os ângulos $\widehat{BAC}$ e $\widehat{BDC}$ são inscritos que subtendem o mesmo arco $\overset{\frown}{BC}$.

Portanto,

$$\widehat{BAC}=\widehat{BDC}$$

Utilizando a soma dos ângulos internos do triângulo

No triângulo $ABC$, a soma dos ângulos internos é $180^\circ$:

$$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^\circ$$

Como $\widehat{ABC}=70^\circ$,

$$\widehat{BAC}+70^\circ+\widehat{ACB}=180^\circ$$

Logo,

$$\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=110^\circ$$

Calculando $x$

Pelo resultado obtido anteriormente,

$$\widehat{BDC}=\widehat{BAC}$$

Assim,

$$x=\widehat{ACB}+\widehat{BDC}$$$$x=\widehat{ACB}+\widehat{BAC}$$

Portanto,

$$\boxed{x=110^\circ}$$

🧩 Exercício 21 IMEDifícil

No triângulo $ABC$, temos $AB=AC\neq BC$. Seja $M$ um ponto qualquer do lado $\overline{BC}$. Expresse a diferença $\overline{AB}^{\,2}-\overline{AM}^{\,2}$ em função dos segmentos adjacentes da base.

A ideia é transformar a diferença de quadrados em um produto e, em seguida, utilizar a potência de um ponto em relação a uma circunferência.

1. Decompondo a diferença de quadrados

Partimos da expressão:

$$AB^2-AM^2$$

Utilizando a identidade da diferença de quadrados:

$$AB^2-AM^2=(AB-AM)(AB+AM)$$

Agora, vamos construir uma circunferência com centro em $A$ e raio $AM$.

2. Construindo a circunferência

Traçamos uma circunferência de centro $A$ e raio $AM$.

Sejam $X$ e $D$ os pontos em que essa circunferência intersecta as retas $AB$ e $AC$, respectivamente. Como $M$ pertence à circunferência, ela também intersecta a reta $BC$ em um segundo ponto, que chamaremos de $Y$.

Pela definição de raio, temos:

$$AX=AM$$

Assim,

$$AB-AM=AB-AX$$

Como $X$ está no segmento $\overline{AB}$,

$$AB-AM=BX$$

Além disso,

$$AB+AM=AB+AD$$

Portanto,

$$AB+AM$$

corresponde à distância entre $B$ e o segundo ponto de interseção da reta $AB$ com a circunferência, situado no prolongamento de $BA$.

3. Aplicando a potência do ponto $B$

Pela potência do ponto $B$ em relação à circunferência, o produto das distâncias dos pontos de interseção de qualquer secante que passa por $B$ é constante.

Utilizando as secantes que passam por $A$ e por $C$, obtemos:

$$(AB-AM)(AB+AM)=BY\cdot BM$$

Consequentemente,

$$AB^2-AM^2=BY\cdot BM$$

4. Relacionando $BY$ e $MC$

Como $AB=AC$, o triângulo $ABC$ é isósceles.

A circunferência tem centro em $A$ e, portanto, seu eixo de simetria coincide com o eixo de simetria do triângulo, perpendicular à base $BC$ e passando pelo seu ponto médio.

Assim, os pontos $Y$ e $M$, que pertencem à base e à circunferência, são simétricos em relação ao ponto médio de $BC$.

Consequentemente,

$$BY=MC$$

Substituindo essa igualdade na expressão obtida anteriormente:

$$AB^2-AM^2=MC\cdot BM$$

Portanto, a relação desejada é:

$$\boxed{AB^2-AM^2=BM\cdot MC}$$

🧩 Exercício 22 Núcleo de ExatasDifícil

Três circunferências são tangentes a uma mesma reta. Seus raios são $R$, $r$ e $x$, sendo $x$ o raio da menor circunferência. Sabendo que as circunferências são tangentes entre si, determine $x$ em função de $R$ e $r$.

1. Distância entre os pontos de tangência de duas circunferências

Considere duas circunferências de raios $R$ e $r$, tangentes externamente entre si e a uma mesma reta.

Sejam $A$ e $B$ os pontos de tangência com a reta, e $O_1$ e $O_2$ os centros das circunferências.

A distância entre os centros é a soma dos raios:

$$O_1O_2=R+r$$

Como os centros estão a distâncias $R$ e $r$ da reta, a diferença entre suas alturas é:

$$R-r$$

Chamando de $d$ a distância entre os pontos de tangência, temos um triângulo retângulo cujos catetos são $d$ e $R-r$, e cuja hipotenusa mede $R+r$.

Pelo Teorema de Pitágoras:

$$d^2+(R-r)^2=(R+r)^2$$

Isolando $d^2$:

$$d^2=(R+r)^2-(R-r)^2$$

Aplicando a diferença de quadrados:

$$d^2=[(R+r)-(R-r)][(R+r)+(R-r)]$$

Simplificando:

$$d^2=(2r)(2R)$$

Portanto,

$$\boxed{d=2\sqrt{Rr}}$$

Esse será o resultado auxiliar que utilizaremos.

2. Aplicando o resultado às três circunferências

Na configuração do problema, as circunferências de raios $R$ e $r$ têm seus pontos de tangência separados pela distância:

$$d=2\sqrt{Rr}$$

Agora, aplicamos o mesmo resultado aos pares formados pela circunferência menor e cada uma das maiores.

Entre as circunferências de raios $R$ e $x$, a distância entre os pontos de tangência com a reta é:

$$d_1=2\sqrt{Rx}$$

Entre as circunferências de raios $r$ e $x$, essa distância é:

$$d_2=2\sqrt{rx}$$

Como o ponto de tangência da circunferência menor está entre os pontos de tangência das duas maiores, temos:

$$d=d_1+d_2$$

Substituindo as expressões:

$$2\sqrt{Rr}=2\sqrt{Rx}+2\sqrt{rx}$$

Dividindo ambos os lados por $2$:

$$\sqrt{Rr}=\sqrt{Rx}+\sqrt{rx}$$

Colocando $\sqrt{x}$ em evidência:

$$\sqrt{Rr}=\sqrt{x}(\sqrt{R}+\sqrt{r})$$

Isolando $\sqrt{x}$:

$$\sqrt{x}=\frac{\sqrt{Rr}}{\sqrt{R}+\sqrt{r}}$$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$$x=\frac{Rr}{(\sqrt{R}+\sqrt{r})^2}$$

Portanto, o raio da menor circunferência é:

$$\boxed{x=\frac{Rr}{(\sqrt{R}+\sqrt{r})^2}}$$

🧩 Exercício 23 Núcleo de ExatasDifícil

Considere duas circunferências de raios $R$ e $r$, tangentes a uma mesma reta. Entre elas, colocamos uma circunferência menor, tangente às duas circunferências e à reta.

Em seguida, repetimos o processo: a cada etapa, inserimos uma nova circunferência no espaço entre as duas circunferências consecutivas, de modo que ela seja tangente a ambas e à reta.

Determine o raio $r_n$ da $n$-ésima circunferência em função de $R$, $r$ e $n$, considerando que as duas primeiras circunferências possuem raios $r_1=R$ e $r_2=r$.

A ideia é utilizar o resultado obtido para duas circunferências tangentes a uma mesma reta e, em seguida, identificar uma sequência numérica que permita calcular o raio de qualquer circunferência.

1. Um resultado auxiliar

Considere duas circunferências de raios $R$ e $r$, tangentes a uma mesma reta, e uma terceira circunferência de raio $x$, tangente às duas anteriores e à reta.

Já sabemos que a distância entre os pontos de tangência das circunferências de raios $R$ e $r$ é:

$$d=2\sqrt{Rr}$$

Aplicando esse resultado aos pares de circunferências de raios $R$ e $x$, e de raios $r$ e $x$, obtemos:

$$d_1=2\sqrt{Rx}$$$$d_2=2\sqrt{rx}$$

Como a circunferência menor está entre as duas maiores, temos:

$$d=d_1+d_2$$

Substituindo:

$$2\sqrt{Rr}=2\sqrt{Rx}+2\sqrt{rx}$$

Dividindo por $2$:

$$\sqrt{Rr}=\sqrt{Rx}+\sqrt{rx}$$

Colocando $\sqrt{x}$ em evidência:

$$\sqrt{Rr}=\sqrt{x}(\sqrt{R}+\sqrt{r})$$

Isolando $\sqrt{x}$ e elevando ao quadrado:

$$x=\frac{Rr}{(\sqrt{R}+\sqrt{r})^2}$$

Podemos escrever essa relação de uma forma ainda mais conveniente:

$$\boxed{\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{R}}+\frac{1}{\sqrt{r}}}$$

Essa será a relação fundamental para resolver o problema.

2. Construindo a sequência

Sejam $r_1$, $r_2$, $r_3$, $\ldots$ os raios das circunferências, na ordem em que são colocadas.

Temos:

$$r_1=R$$$$r_2=r$$

A terceira circunferência é tangente às duas primeiras. Portanto,

$$\frac{1}{\sqrt{r_3}} = \frac{1}{\sqrt{r_1}} + \frac{1}{\sqrt{r_2}}$$

Na etapa seguinte, a quarta circunferência é colocada entre a segunda e a terceira:

$$\frac{1}{\sqrt{r_4}} = \frac{1}{\sqrt{r_2}} + \frac{1}{\sqrt{r_3}}$$

Para a quinta circunferência:

$$\frac{1}{\sqrt{r_5}} = \frac{1}{\sqrt{r_3}} + \frac{1}{\sqrt{r_4}}$$

Assim, observamos que cada novo termo depende dos dois anteriores.

3. Identificando a recorrência

Definimos:

$$u_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}$$

Com essa substituição, a relação entre os raios fica muito mais simples:

$$\boxed{u_n=u_{n-1}+u_{n-2}}$$

para $n\geq 3$.

Essa é a mesma regra de formação da sequência de Fibonacci, cujos primeiros termos são:

$$0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ldots$$

Vamos utilizar a notação $F_n$ para os números de Fibonacci, definidos por:

$$F_0=0,\qquad F_1=1$$

e

$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$

Como os dois primeiros termos da nossa sequência são:

$$u_1=\frac{1}{\sqrt{R}}$$

e

$$u_2=\frac{1}{\sqrt{r}},$$

podemos escrever:

$$u_n= \frac{F_{n-2}}{\sqrt{R}} + \frac{F_{n-1}}{\sqrt{r}}$$

Essa expressão vale para $n\geq 2$.

4. Determinando o raio da n-ésima circunferência

Por definição,

$$u_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}$$

Logo,

$$\frac{1}{\sqrt{r_n}} = \frac{F_{n-2}}{\sqrt{R}} + \frac{F_{n-1}}{\sqrt{r}}$$

Invertendo a expressão:

$$\sqrt{r_n} = \frac{1}{ \frac{F_{n-2}}{\sqrt{R}} + \frac{F_{n-1}}{\sqrt{r}} }$$

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos:

$$\boxed{ r_n= \frac{1}{ \left( \frac{F_{n-2}}{\sqrt{R}} + \frac{F_{n-1}}{\sqrt{r}} \right)^2 } }$$

Portanto, essa é a fórmula que fornece diretamente o raio da n-ésima circunferência, sem precisar calcular todos os raios anteriores.

5. Verificando os primeiros termos

Para $n=2$, temos $F_0=0$ e $F_1=1$:

$$r_2= \frac{1}{ \left( 0+\frac{1}{\sqrt{r}} \right)^2 } =r$$

Para $n=3$, temos $F_1=1$ e $F_2=1$:

$$r_3= \frac{1}{ \left( \frac{1}{\sqrt{R}}+\frac{1}{\sqrt{r}} \right)^2 }$$

Ou seja,

$$r_3=\frac{Rr}{(\sqrt{R}+\sqrt{r})^2}$$

que é exatamente a relação encontrada inicialmente.

Para $n=4$, temos $F_2=1$ e $F_3=2$:

$$r_4= \frac{1}{ \left( \frac{1}{\sqrt{R}}+\frac{2}{\sqrt{r}} \right)^2 }$$

Assim, a fórmula também permite calcular os raios seguintes diretamente.

Conclusão

A sequência dos inversos das raízes quadradas dos raios segue a sequência de Fibonacci. Portanto, o raio da n-ésima circunferência é:

$$\boxed{ r_n= \frac{1}{ \left( \frac{F_{n-2}}{\sqrt{R}} + \frac{F_{n-1}}{\sqrt{r}} \right)^2 } }$$

para $n\geq 2$, com $r_1=R$.