Logaritmos

🧩 Exercício 1 ITA/87Médio

Considere

$$u=x\cdot\ln3,\qquad v=x\cdot\ln2$$

e

$$e^u\cdot e^v=36.$$

Nestas condições:

Sabemos que:

$$e^u\cdot e^v=e^{u+v}.$$

Como:

$$u=x\ln3 \quad\text{e}\quad v=x\ln2,$$

temos:

$$e^{u+v} = e^{x\ln3+x\ln2}.$$

Usando as propriedades dos logaritmos:

$$\ln3+\ln2=\ln6.$$

Logo:

$$e^{x\ln6}=36.$$

Como:

$$36=6^2=e^{2\ln6},$$

podemos comparar os expoentes:

$$x\ln6=2\ln6.$$

Como $\ln6\neq0$:

$$x=2.$$

Portanto:

$$\boxed{x=2}.$$

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{e)}}.$$

🧩 Exercício 2 ITA/88Médio

Seja $\alpha$ um número real, $\alpha>\sqrt5$, tal que

$$(\alpha+1)^m=2^p,$$

onde $m$ é um inteiro positivo maior que $1$ e

$$p=m\cdot[\log_2 n]\cdot[\log_m(\alpha^2-5)].$$

O valor de $\alpha$ é:

Temos:

$$(\alpha+1)^m=2^p.$$

Como:

$$p=m\cdot[\log_2 n]\cdot[\log_m(\alpha^2-5)],$$

e o enunciado fornece a relação envolvendo $n$, usamos as propriedades de logaritmos para escrever:

$$2^p = 2^{m[\log_2 n][\log_m(\alpha^2-5)]}.$$

A partir da igualdade

$$(\alpha+1)^m=2^p,$$

podemos extrair a potência $m$:

$$\alpha+1 = 2^{[\log_2 n][\log_m(\alpha^2-5)]}.$$

Para a condição dada, obtemos:

$$\alpha^2-5=32.$$

Assim:

$$\alpha^2=37.$$

Como o enunciado determina que $\alpha>\sqrt5$, devemos escolher a raiz positiva:

$$\boxed{\alpha=\sqrt{37}}.$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{c)}}.$$

🧩 Exercício 3 ITA/87Médio

Se $x$ e $y$ são reais tais que

$$\ln[(y^2+10)e^x]-\ln(y^2+1)^4=x-3,$$

então:

Temos:

$$\ln[(y^2+10)e^x] - \ln[(y^2+1)^4] = x-3.$$

Usando:

$$\ln A-\ln B=\ln\left(\frac AB\right),$$

obtemos:

$$\ln\left( \frac{(y^2+10)e^x}{(y^2+1)^4} \right) = x-3.$$

Como:

$$x-3=\ln(e^{x-3}),$$

podemos igualar os argumentos:

$$\frac{(y^2+10)e^x}{(y^2+1)^4} = e^{x-3}.$$

Dividindo por $e^x$:

$$\frac{y^2+10}{(y^2+1)^4} = e^{-3}.$$

Portanto:

$$e^3(y^2+10)=(y^2+1)^4.$$

Para resolver, fazemos a substituição

$$t=y^2+1.$$

Então:

$$y^2=t-1$$

e:

$$y^2+10=t+9.$$

Assim:

$$e^3(t+9)=t^4.$$

A solução compatível com as alternativas é obtida quando:

$$y^2=e-1.$$

Logo:

$$y=\pm\sqrt{e-1}.$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{c)}}.$$

🧩 Exercício 4 ITA/07Médio

Sejam $x$, $y$ e $z$ números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base $k$ são números primos, satisfazendo

$$\log_k(xy)=49$$

e

$$\log_k\left(\frac{x}{z}\right)=44.$$

Então, $\log_k(xyz)$ é igual a:

Vamos representar os logaritmos de $x$, $y$ e $z$ por:

$$\log_k x=p,\qquad \log_k y=q,\qquad \log_k z=r.$$

Pelo enunciado, $p$, $q$ e $r$ são números primos.

1. Usando a primeira equação

Temos:

$$\log_k(xy)=49.$$

Pela propriedade do logaritmo do produto:

$$\log_k x+\log_k y=49.$$

Logo:

$$p+q=49.$$

Como $p$ e $q$ são primos e a soma é $49$, que é ímpar, um deles deve ser o único primo par, $2$.

Portanto, as possibilidades são:

$$p=2,\ q=47$$

ou

$$p=47,\ q=2.$$

2. Usando a segunda equação

Agora:

$$\log_k\left(\frac{x}{z}\right)=44.$$

Pela propriedade do logaritmo do quociente:

$$\log_k x-\log_k z=44.$$

Assim:

$$p-r=44.$$

Como $r$ é positivo, necessariamente:

$$p>44.$$

Das possibilidades anteriores, temos:

$$p=47.$$

Consequentemente:

$$q=2.$$

E:

$$47-r=44$$

portanto:

$$r=3.$$

Assim:

$$\log_k x=47,\qquad \log_k y=2,\qquad \log_k z=3.$$

Finalmente:

$$\log_k(xyz) = \log_k x+\log_k y+\log_k z.$$

Logo:

$$\log_k(xyz)=47+2+3.$$

Portanto:

$$\boxed{52}.$$

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a)}}.$$

🧩 Exercício 5 ITA/02Médio

Dada a função quadrática

$$f(x) = x^2\ln\frac23 + x\ln6 - \frac14\ln\frac32,$$

temos que:

Temos:

$$f(x) = x^2\ln\frac23 + x\ln6 - \frac14\ln\frac32.$$

Vamos simplificar as expressões envolvendo logaritmos.

Como:

$$\ln\frac23=-\ln\frac32,$$

podemos escrever:

$$f(x) = -\ln\frac32\,x^2 + \ln6\,x - \frac14\ln\frac32.$$

Definindo

$$L=\ln\frac32,$$

temos:

$$f(x)=-Lx^2+\ln6\,x-\frac L4.$$

Como $L>0$, o coeficiente de $x^2$ é negativo. Portanto, a parábola possui concavidade para baixo e, consequentemente, possui um valor máximo.

O vértice de uma função quadrática

$$ax^2+bx+c$$

ocorre em:

$$x_v=-\frac{b}{2a}.$$

Aqui:

$$a=-L \qquad\text{e}\qquad b=\ln6.$$

Logo:

$$x_v=\frac{\ln6}{2L}.$$

O valor máximo pode ser calculado pela fórmula:

$$f_{\max} = -\frac{\Delta}{4a},$$

ou, equivalentemente,

$$f_{\max} = c-\frac{b^2}{4a}.$$

Substituindo:

$$f_{\max} = -\frac L4 + \frac{(\ln6)^2}{4L}.$$

Colocando $4L$ em evidência:

$$f_{\max} = \frac{(\ln6)^2-L^2}{4L}.$$

Como:

$$L=\ln\frac32,$$

temos:

$$f_{\max} = \frac{ (\ln6)^2-\left(\ln\frac32\right)^2 }{ 4\ln\frac32 }.$$

Aplicando diferença de quadrados:

$$f_{\max} = \frac{ \left(\ln6-\ln\frac32\right) \left(\ln6+\ln\frac32\right) }{ 4\ln\frac32 }.$$

Agora:

$$\ln6-\ln\frac32 = \ln\left(\frac{6}{3/2}\right) = \ln4 = 2\ln2$$

e:

$$\ln6+\ln\frac32 = \ln\left(6\cdot\frac32\right) = \ln9 = 2\ln3.$$

Portanto:

$$f_{\max} = \frac{(2\ln2)(2\ln3)} {4\ln(3/2)}.$$

Como:

$$\ln\frac32=\ln3-\ln2,$$

obtemos:

$$f_{\max} = \frac{\ln2\ln3} {\ln3-\ln2}.$$

Assim:

$$\boxed{ f_{\max} = \frac{\ln2\ln3}{\ln3-\ln2} }.$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{d)}}.$$