Números Complexos

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Questões de Números Complexos do IME Resolvidas

Nesta página, você encontra uma seleção de questões de Números Complexos do IME, com resoluções detalhadas e passo a passo. Os problemas foram retirados de provas do Instituto Militar de Engenharia (IME) e exploram diferentes técnicas e propriedades dos números complexos.

As questões envolvem conceitos como forma algébrica e trigonométrica dos números complexos, módulo, argumento, conjugado, operações com números complexos, potências, raízes, fórmula de De Moivre e interpretação geométrica no plano complexo.

Sugestão: tente resolver cada questão antes de consultar a solução. Em problemas de Números Complexos do IME, reconhecer a representação ou propriedade adequada muitas vezes é a parte mais importante da resolução.

🧩 Exercício 1 IME 2010/2011Fácil

Seja $x$ um número real ou complexo para o qual

$$x+\frac{1}{x}=1.$$

O valor de

$$x^6+\frac{1}{x^6}$$

é:

Partimos da condição

$$x+\frac{1}{x}=1.$$

Como $x\neq0$, podemos multiplicar toda a equação por $x$:

$$x^2+1=x.$$

Assim,

$$x^2-x+1=0.$$

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

$$x= \frac{1\pm\sqrt{1-4}}{2}.$$

Como

$$1-4=-3,$$

temos

$$x= \frac{1\pm i\sqrt3}{2}.$$

Agora reconhecemos essa expressão na forma trigonométrica.

Sabemos que

$$\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$$

e

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}.$$

Portanto,

$$x= \cos\frac{\pi}{3} \pm i\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}.$$

Pela forma trigonométrica dos números complexos,

$$x=e^{\pm i\frac{\pi}{3}}.$$

Elevando à sexta potência:

$$x^6 = \left(e^{\pm i\frac{\pi}{3}}\right)^6.$$

Pela fórmula de De Moivre,

$$x^6 = e^{\pm i2\pi}.$$

Como

$$e^{i2\pi}=1$$

e

$$e^{-i2\pi}=1,$$

temos, em ambos os casos,

$$x^6=1.$$

Consequentemente,

$$\frac{1}{x^6}=1.$$

Logo,

$$x^6+\frac{1}{x^6} = 1+1.$$

Portanto,

$$\boxed{2}.$$

Assim, a alternativa correta é a (A).

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🧩 Exercício 2 IME 2010/2011Difícil

Sejam

$$z_1=10+6i$$

e

$$z_2=4+6i,$$

onde $i$ é a unidade imaginária, e $z$ um número complexo tal que

$$\operatorname{arg} \left( \frac{z-z_1}{z-z_2} \right) = \frac{\pi}{4}.$$

Determine o módulo do número complexo

$$z-7-9i.$$

Vamos interpretar geometricamente a condição sobre o argumento.

Considere os pontos do plano complexo associados aos números

$$z_1=10+6i$$

e

$$z_2=4+6i.$$

O número

$$\frac{z-z_1}{z-z_2}$$

é o quociente entre os vetores

$$z-z_1$$

e

$$z-z_2.$$

Assim, seu argumento representa o ângulo orientado entre esses dois vetores.

A condição

$$\operatorname{arg} \left( \frac{z-z_1}{z-z_2} \right) = \frac{\pi}{4}$$

significa que o ângulo formado pelos segmentos que ligam o ponto correspondente a $z$ aos pontos $z_1$ e $z_2$ é

$$\frac{\pi}{4}=45^\circ.$$

Portanto, o ponto $z$ pertence ao arco capaz de $45^\circ$ sobre o segmento que liga $z_1$ a $z_2$.

Agora,

$$|z_1-z_2| = |(10+6i)-(4+6i)|.$$

Logo,

$$|z_1-z_2|=|6|=6.$$

Seja $O$ o centro da circunferência que contém esse arco.

Como o ângulo inscrito é $45^\circ$, o ângulo central correspondente ao mesmo arco é

$$2\cdot45^\circ=90^\circ.$$

Assim, o triângulo formado pelo centro $O$ e pelos pontos $z_1$ e $z_2$ é um triângulo retângulo isósceles.

Como

$$|z_1-z_2|=6,$$

a distância do centro à extremidade do segmento é metade da diagonal do triângulo retângulo isósceles:

$$R = \frac{6}{\sqrt2}.$$

Racionalizando:

$$R = \frac{6\sqrt2}{2} = 3\sqrt2.$$

Além disso, o ponto médio do segmento $z_1z_2$ é

$$M= \left( \frac{10+4}{2}, \frac{6+6}{2} \right) = (7,6).$$

Como o arco correspondente está acima do segmento $z_1z_2$, o centro da circunferência está em

$$O=(7,9).$$

No plano complexo, esse ponto corresponde ao número

$$7+9i.$$

Portanto, o número complexo pedido,

$$z-7-9i,$$

pode ser escrito como

$$z-(7+9i).$$

Geometricamente, ele representa o vetor que vai do centro $O$ até o ponto $z$.

Consequentemente, seu módulo é exatamente o raio da circunferência:

$$|z-7-9i|=R.$$

Logo,

$$\boxed{|z-7-9i|=3\sqrt2}.$$

Assim, a alternativa correta é a (B).