Congruência de Triângulos

Dois triângulos são congruentes quando possuem a mesma forma e o mesmo tamanho.

Isso significa que podemos sobrepor um triângulo ao outro de modo que seus lados e seus ângulos correspondentes coincidam.

O símbolo utilizado para indicar congruência é:

$$\boxed{\cong}$$

Se o triângulo $ABC$ é congruente ao triângulo $DEF$, podemos escrever:

$$\boxed{\triangle ABC\cong\triangle DEF}$$

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📐 O que significa ser congruente?

Considere dois triângulos:

        A                         D
       / \                       / \
      /   \                     /   \
     /     \                   /     \
    B-------C                 E-------F

Se os lados correspondentes possuem a mesma medida e os ângulos correspondentes também possuem a mesma medida, então os triângulos são congruentes.

Por exemplo:

$$AB=DE$$ $$BC=EF$$ $$AC=DF$$

e:

$$\angle A=\angle D$$ $$\angle B=\angle E$$ $$\angle C=\angle F$$

Então:

$$\boxed{\triangle ABC\cong\triangle DEF}$$

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🔎 Correspondência entre os vértices

A ordem em que escrevemos os vértices é importante.

Se:

$$\triangle ABC\cong\triangle DEF$$

isso significa que:

$$A\leftrightarrow D$$ $$B\leftrightarrow E$$ $$C\leftrightarrow F$$

Consequentemente, os lados correspondentes são:

$$AB\leftrightarrow DE$$ $$BC\leftrightarrow EF$$ $$AC\leftrightarrow DF$$

E os ângulos correspondentes são:

$$\angle A\leftrightarrow\angle D$$ $$\angle B\leftrightarrow\angle E$$ $$\angle C\leftrightarrow\angle F$$

⚠️ Atenção

Não basta comparar dois triângulos apenas pelo desenho.

A congruência deve ser justificada pelas medidas dos lados e/ou dos ângulos.

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🧠 Casos de congruência

Em muitos problemas, não precisamos conhecer todas as medidas dos lados e dos ângulos.

Existem condições suficientes para garantir que dois triângulos são congruentes.

Os principais casos estudados são:

• LLL — lado, lado, lado;
• LAL — lado, ângulo, lado;
• ALA — ângulo, lado, ângulo;
• LAA — lado, ângulo, ângulo;
• HC — hipotenusa e cateto, no caso de triângulos retângulos.

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🔷 Caso LLL — Lado, Lado, Lado

Dois triângulos são congruentes pelo caso LLL quando possuem os três lados correspondentes com medidas iguais.

Por exemplo:

$$AB=DE$$ $$BC=EF$$ $$AC=DF$$

Então:

$$\boxed{\triangle ABC\cong\triangle DEF}$$

Exemplo

Considere dois triângulos com lados:

$$5\text{ cm},\quad7\text{ cm},\quad9\text{ cm}$$

Se os dois possuem essas mesmas três medidas nos lados correspondentes, então são congruentes pelo caso:

$$\boxed{LLL}$$

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🔷 Caso LAL — Lado, Ângulo, Lado

Dois triângulos são congruentes pelo caso LAL quando possuem:

• dois lados correspondentes iguais;
• o ângulo entre esses dois lados igual.

Por exemplo:

$$AB=DE$$ $$AC=DF$$

e:

$$\angle A=\angle D$$

Então:

$$\boxed{\triangle ABC\cong\triangle DEF}$$

pelo caso LAL.

⚠️ O ângulo precisa ser o ângulo compreendido

Esse detalhe é muito importante.

No caso LAL, o ângulo conhecido deve estar entre os dois lados conhecidos.

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🔷 Caso ALA — Ângulo, Lado, Ângulo

Dois triângulos são congruentes pelo caso ALA quando possuem:

• dois ângulos correspondentes iguais;
• o lado entre esses dois ângulos igual.

Por exemplo:

$$\angle A=\angle D$$ $$\angle B=\angle E$$

e:

$$AB=DE$$

Então:

$$\boxed{\triangle ABC\cong\triangle DEF}$$

pelo caso ALA.

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🔷 Caso LAA — Lado, Ângulo, Ângulo

Também podemos garantir a congruência quando conhecemos:

• um lado correspondente;
• dois ângulos correspondentes.

Esse caso é frequentemente representado por LAA.

Por exemplo:

$$AB=DE$$ $$\angle A=\angle D$$ $$\angle C=\angle F$$

Então os triângulos são congruentes.

Isso acontece porque, conhecendo dois ângulos de um triângulo, o terceiro fica determinado pela soma:

$$180^\circ$$

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🔷 Caso HC — Hipotenusa e Cateto

Para triângulos retângulos, existe um caso especial.

Se dois triângulos retângulos possuem:

• hipotenusas de mesma medida;
• um cateto de mesma medida;

então eles são congruentes.

Esse caso é conhecido como:

$$\boxed{HC}$$

onde:

• $H$ = hipotenusa;
• $C$ = cateto.

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⚠️ Congruência não é semelhança

É muito importante não confundir congruência com semelhança.

Triângulos congruentes

Possuem:

• mesma forma;
• mesmo tamanho.

Os lados correspondentes possuem medidas iguais.

$$\boxed{\text{mesma forma + mesmo tamanho}}$$

Triângulos semelhantes

Possuem:

• mesma forma;
• tamanhos que podem ser diferentes.

Os lados correspondentes são proporcionais.

$$\boxed{\text{mesma forma + tamanho possivelmente diferente}}$$

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🔎 Exemplo de congruência

Considere dois triângulos com lados:

Primeiro:

$$3,\quad4,\quad5$$

Segundo:

$$3,\quad4,\quad5$$

Como os três lados correspondentes são iguais:

$$3=3$$ $$4=4$$ $$5=5$$

os triângulos são congruentes pelo caso LLL.

$$\boxed{\triangle ABC\cong\triangle DEF}$$

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🔎 Exemplo de triângulos que não são congruentes

Considere dois triângulos com lados:

Primeiro:

$$3,\quad4,\quad5$$

Segundo:

$$6,\quad8,\quad10$$

Os lados do segundo triângulo são o dobro dos lados do primeiro.

Eles podem ter a mesma forma, mas possuem tamanhos diferentes.

Portanto, eles não são congruentes.

Nesse caso, eles podem ser semelhantes.

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⭐ Consequência da congruência

Se dois triângulos são congruentes, então todos os seus elementos correspondentes possuem a mesma medida.

Se:

$$\triangle ABC\cong\triangle DEF$$

então:

$$AB=DE$$ $$BC=EF$$ $$AC=DF$$

e:

$$\angle A=\angle D$$ $$\angle B=\angle E$$ $$\angle C=\angle F$$

Isso é chamado de partes correspondentes de figuras congruentes.

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🧩 Como resolver problemas de congruência

Uma boa estratégia é:

Passo 1

Identifique os dois triângulos.

Passo 2

Descubra quais são os vértices correspondentes.

Passo 3

Compare os lados e os ângulos conhecidos.

Passo 4

Procure um dos casos de congruência:

$$LLL,\quad LAL,\quad ALA,\quad LAA,\quad HC$$

Passo 5

Use a congruência para descobrir as medidas desconhecidas.

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Exemplo 1 — Caso LLL

Dois triângulos possuem lados correspondentes de medidas $6$ cm, $8$ cm e $10$ cm. Eles são congruentes?

Ver solução

Os três lados correspondentes possuem a mesma medida.

Portanto:

$$6=6$$$$8=8$$$$10=10$$

Logo, os triângulos são congruentes pelo caso:

$$\boxed{LLL}$$

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Exemplo 2 — Caso LAL

Dois triângulos possuem dois lados correspondentes medindo $5$ cm e $8$ cm, e o ângulo entre esses lados mede $60^\circ$ nos dois triângulos.

Eles são congruentes?

Ver solução

Temos:

• dois lados correspondentes iguais;
• o ângulo compreendido entre eles igual.

Portanto, temos o caso:

$$\boxed{LAL}$$

Logo, os triângulos são congruentes.

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Exemplo 3 — Caso ALA

Dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes de $50^\circ$ e $70^\circ$, e o lado entre esses ângulos mede $6$ cm nos dois triângulos.

Os triângulos são congruentes?

Ver solução

Temos:

$$\angle A=\angle D=50^\circ$$$$\angle B=\angle E=70^\circ$$

e:

$$AB=DE=6\text{ cm}$$

Temos dois ângulos e o lado compreendido entre eles.

Portanto:

$$\boxed{ALA}$$

Os triângulos são congruentes.

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Exemplo 4 — Descobrindo uma medida

Sabemos que:

$$\triangle ABC\cong\triangle DEF$$

Se:

$$AB=12\text{ cm}$$

qual é a medida de $DE$?

Ver solução

Pela ordem da congruência:

$$A\leftrightarrow D$$

e:

$$B\leftrightarrow E$$

Logo:

$$AB\leftrightarrow DE$$

Como os triângulos são congruentes:

$$AB=DE$$

Portanto:

$$\boxed{DE=12\text{ cm}}$$

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Exemplo 5 — Descobrindo um ângulo

Sabemos que:

$$\triangle ABC\cong\triangle DEF$$

e:

$$\angle C=75^\circ$$

Qual é a medida de $\angle F$?

Ver solução

Pela ordem:

$$C\leftrightarrow F$$

Como os triângulos são congruentes, os ângulos correspondentes são iguais.

Logo:

$$\boxed{\angle F=75^\circ}$$

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⚠️ Um caso que não garante congruência: AAA

Conhecer apenas os três ângulos correspondentes não garante que os triângulos tenham o mesmo tamanho.

Por exemplo, dois triângulos podem possuir:

$$60^\circ,\quad60^\circ,\quad60^\circ$$

e ainda assim possuir lados de tamanhos diferentes.

Nesse caso, eles são semelhantes, mas não necessariamente congruentes.

Portanto:

$$\boxed{AAA\text{ não é um caso de congruência}}$$

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⚠️ Outro cuidado: LLA

Conhecer dois lados e um ângulo que não está entre esses lados, em geral, não garante a congruência.

Por isso, não devemos confundir:

$$\boxed{LAL}$$

com:

$$\boxed{LLA}$$

No LAL, o ângulo é o compreendido entre os dois lados.

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🧠 Resumo

Dois triângulos são congruentes quando possuem a mesma forma e o mesmo tamanho.

Os principais casos são:

Caso	Elementos conhecidos
LLL	3 lados
LAL	2 lados e ângulo compreendido
ALA	2 ângulos e lado compreendido
LAA	1 lado e 2 ângulos
HC	Hipotenusa e um cateto

A congruência permite concluir que todos os elementos correspondentes possuem a mesma medida.

$$\boxed{\triangle ABC\cong\triangle DEF}$$

implica:

$$\boxed{AB=DE,\quad BC=EF,\quad AC=DF}$$

e:

$$\boxed{\angle A=\angle D,\quad\angle B=\angle E,\quad\angle C=\angle F}$$

Lembre-se:

$$\boxed{\text{Congruência}=\text{mesma forma e mesmo tamanho}}$$

Enquanto:

$$\boxed{\text{Semelhança}=\text{mesma forma, podendo ter tamanho diferente}}$$

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📝 Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Quando dois triângulos possuem a mesma forma e o mesmo tamanho, dizemos que eles são:

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🧩 Exercício 2 Fácil

Qual é o símbolo utilizado para representar a congruência entre duas figuras?

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🧩 Exercício 3 Fácil

Dois triângulos possuem os três lados correspondentes com medidas iguais. Qual caso de congruência pode ser utilizado?

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🧩 Exercício 4 Fácil

Dois lados correspondentes e o ângulo entre eles possuem medidas iguais. Qual caso de congruência está sendo utilizado?

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🧩 Exercício 5 Médio

Dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes iguais e o lado entre esses ângulos também é igual. Qual é o caso de congruência?

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🧩 Exercício 6 Médio

Se $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ e $AB=15$ cm, qual é a medida de $DE$?

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🧩 Exercício 7 Médio

Se $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ e \angle C=80^\\circ, qual é a medida de $\angle F$?

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🧩 Exercício 8 Médio

Dois triângulos possuem ângulos correspondentes iguais, mas os lados de um são o dobro dos lados do outro. Eles são:

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🧩 Exercício 9 Médio

Por que o caso AAA não garante a congruência de dois triângulos?

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🧩 Exercício 10 Médio

Qual alternativa apresenta corretamente os quatro principais casos gerais de congruência estudados?

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Próximo tópico

No próximo conteúdo estudaremos a semelhança de triângulos, comparando triângulos que possuem a mesma forma, mas podem apresentar tamanhos diferentes.