Monotonicidade, Paridade e Periodicidade

Funções monotônicas

O comportamento de uma função pode ser analisado observando como os valores de $f(x)$ variam quando alteramos os valores de $x$.

Considere uma função:

$$f:A\rightarrow B$$

e seja $I$ um subconjunto de $A$.

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Função estritamente crescente

Dizemos que $f$ é estritamente crescente em $I$ quando, para quaisquer $x_1,x_2\in I$,

$$x_1<x_2 \iff f(x_1)<f(x_2).$$

Em outras palavras, quando $x$ aumenta, $f(x)$ também aumenta.

Uma forma prática de verificar a ideia é:

$$x_1<x_2 \quad\Longrightarrow\quad f(x_1)<f(x_2).$$

Exemplo

Considere:

$$f(x)=2x+1.$$

Se $x_1<x_2$, então:

$$2x_1<2x_2$$

e, somando $1$:

$$2x_1+1<2x_2+1.$$

Portanto:

$$f(x_1)<f(x_2).$$

Logo, $f(x)=2x+1$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$.

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Função crescente

Dizemos que $f$ é crescente em $I$ quando:

$$x_1<x_2 \quad\Longrightarrow\quad f(x_1)\leq f(x_2).$$

A diferença é que, nesse caso, a função pode permanecer constante em algum trecho.

Assim:

$$x_1<x_2 \quad\Longrightarrow\quad f(x_1)\leq f(x_2).$$

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Função estritamente decrescente

Dizemos que $f$ é estritamente decrescente em $I$ quando:

$$x_1<x_2 \quad\Longrightarrow\quad f(x_1)>f(x_2).$$

Ou seja, quando $x$ aumenta, $f(x)$ diminui.

Exemplo

Considere:

$$f(x)=5-x.$$

Se:

$$x_1<x_2,$$

então:

$$-x_1>-x_2.$$

Somando $5$:

$$5-x_1>5-x_2.$$

Portanto:

$$f(x_1)>f(x_2).$$

Logo, $f(x)=5-x$ é estritamente decrescente em $\mathbb{R}$.

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Função decrescente

Dizemos que $f$ é decrescente em $I$ quando:

$$x_1<x_2 \quad\Longrightarrow\quad f(x_1)\geq f(x_2).$$

A função pode, portanto, apresentar trechos em que permanece constante.

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Função constante

Uma função é constante em $I$ quando:

$$f(x_1)=f(x_2), \qquad \forall x_1,x_2\in I.$$

Isso significa que a função apresenta sempre o mesmo valor.

Por exemplo:

$$f(x)=3.$$

Independentemente do valor de $x$:

$$f(x)=3.$$

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Resumo da monotonicidade

Comportamento de $x$	Comportamento de $f(x)$
$x$ aumenta	$f(x)$ aumenta → crescente
$x$ aumenta	$f(x)$ diminui → decrescente
$x$ aumenta	$f(x)$ permanece igual → constante

É importante observar que essas propriedades podem ser consideradas em todo o domínio ou apenas em determinado intervalo.

Por exemplo, uma função pode ser crescente em um intervalo e decrescente em outro.

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Função par e função ímpar

Considere uma função:

$$f:A\rightarrow\mathbb{R}.$$

A paridade de uma função está relacionada à maneira como seu gráfico se comporta em relação à origem e ao eixo $y$.

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Função par

Uma função é par quando:

$$\boxed{f(-x)=f(x)}$$

para todo $x$ pertencente ao domínio.

Interpretação

Quando uma função é par, valores simétricos de $x$ produzem o mesmo valor de $f(x)$.

Por exemplo:

$$f(2)=f(-2).$$

Simetria do gráfico

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo $y$.

Exemplo

Considere:

$$f(x)=x^2.$$

Temos:

$$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x).$$

Logo:

$$\boxed{f(x)=x^2\text{ é par}.}$$

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Função ímpar

Uma função é ímpar quando:

$$\boxed{f(-x)=-f(x)}$$

para todo $x$ pertencente ao domínio.

Isso significa que, ao trocar $x$ por $-x$, o valor da função muda de sinal.

Por exemplo:

$$f(2)=5 \quad\Longrightarrow\quad f(-2)=-5.$$

Simetria do gráfico

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema de coordenadas.

Exemplo

Considere:

$$f(x)=x^3.$$

Temos:

$$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x).$$

Logo:

$$\boxed{f(x)=x^3\text{ é ímpar}.}$$

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Como determinar a paridade

Para descobrir se uma função é par ou ímpar, basta calcular:

$$f(-x).$$

Depois comparamos com $f(x)$.

Se:

$$f(-x)=f(x),$$

a função é par.

Se:

$$f(-x)=-f(x),$$

a função é ímpar.

Se nenhuma das duas relações for satisfeita:

$$f(-x)\neq f(x)$$

e

$$f(-x)\neq -f(x),$$

a função não é par nem ímpar.

Atenção: uma função não precisa necessariamente ser par ou ímpar. Existem funções que não possuem nenhuma dessas propriedades.

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Funções que são simultaneamente pares e ímpares

Existe apenas uma função que pode ser simultaneamente par e ímpar:

$$\boxed{f(x)=0}.$$

De fato, para essa função:

$$f(-x)=0=f(x)$$

e também:

$$f(-x)=0=-f(x).$$

Portanto, a função identicamente nula é ao mesmo tempo par e ímpar.

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Função periódica

Uma função $f:A\rightarrow B$ é periódica quando existe um número real positivo $p$ tal que:

$$\boxed{f(x+p)=f(x)}$$

para todo $x$ pertencente ao domínio.

O número $p$ é chamado de período da função.

A ideia é que, ao deslocarmos o gráfico horizontalmente uma distância $p$, o comportamento da função se repete.

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Período fundamental

Se $p$ é o menor valor positivo que satisfaz:

$$f(x+p)=f(x),$$

então $p$ é chamado de período fundamental.

Por exemplo:

$$f(x)=\operatorname{sen}x.$$

Sabemos que:

$$\operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen}x.$$

Além disso, $2\pi$ é o menor período positivo.

Portanto:

$$\boxed{T=2\pi}.$$

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Múltiplos de um período também são períodos

Se $T$ é um período de uma função, então:

$$2T,\ 3T,\ 4T,\ldots$$

também são períodos.

Por exemplo, para:

$$f(x)=\operatorname{sen}x,$$

o período fundamental é:

$$2\pi.$$

Mas também temos:

$$4\pi=2(2\pi),$$

e, portanto:

$$\operatorname{sen}(x+4\pi)=\operatorname{sen}x.$$

Assim, $4\pi$ também é um período.

Atenção: quando uma questão pergunta pelo período fundamental, devemos procurar o menor período positivo. Quando pergunta apenas por um período, qualquer múltiplo inteiro positivo do período fundamental pode ser utilizado.

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Período das funções seno e cosseno

Para uma função da forma:

$$f(x)=\operatorname{sen}(bx),$$

ou

$$f(x)=\cos(bx),$$

o período fundamental é:

$$\boxed{T=\frac{2\pi}{|b|}}.$$

Exemplo

Considere:

$$f(x)=\operatorname{sen}(4x).$$

Nesse caso:

$$b=4.$$

Logo:

$$T=\frac{2\pi}{4} = \boxed{\frac{\pi}{2}}.$$

Observe que $\pi$ também é um período, pois:

$$\pi=2\cdot\frac{\pi}{2}.$$

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Período da tangente

Para:

$$f(x)=\operatorname{tg}(bx),$$

o período fundamental é:

$$\boxed{T=\frac{\pi}{|b|}}.$$

Isso ocorre porque:

$$\operatorname{tg}(x+\pi)=\operatorname{tg}x.$$

Exemplo

Se:

$$f(x)=\operatorname{tg}(2x),$$

então:

$$T=\frac{\pi}{2}.$$

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Relação entre paridade e periodicidade

Paridade e periodicidade são propriedades diferentes.

Uma função pode ser:

• par;
• ímpar;
• nem par nem ímpar;
• periódica;
• não periódica.

Essas propriedades não são mutuamente exclusivas.

Por exemplo:

$$f(x)=\cos x$$

é par e periódica.

Já:

$$f(x)=\operatorname{sen}x$$

é ímpar e periódica.

Por outro lado:

$$f(x)=x$$

é ímpar, mas não é periódica.

E:

$$f(x)=x^2$$

é par, mas não é periódica.

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Propriedades úteis

Se $f$ é par e $g$ é ímpar, então:

Produto de função par por função ímpar

$$(fg)(-x) = f(-x)g(-x).$$

Como:

$$f(-x)=f(x)$$

e

$$g(-x)=-g(x),$$

temos:

$$(fg)(-x) = -f(x)g(x).$$

Portanto:

$$\boxed{\text{par}\times\text{ímpar}=\text{ímpar}}.$$

Produto de duas funções pares

$$\boxed{\text{par}\times\text{par}=\text{par}}.$$

Produto de duas funções ímpares

$$\boxed{\text{ímpar}\times\text{ímpar}=\text{par}}.$$

Soma de duas funções pares

$$\boxed{\text{par}+\text{par}=\text{par}}.$$

Soma de duas funções ímpares

$$\boxed{\text{ímpar}+\text{ímpar}=\text{ímpar}}.$$

Essas propriedades são bastante úteis em questões de classificação de funções.

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Estratégia para resolver questões

Ao encontrar uma questão sobre monotonicidade, pergunte:

1. Quais são os valores de $x$ que estão sendo comparados?
2. Quando $x$ aumenta, $f(x)$ aumenta ou diminui?
3. A propriedade vale em todo o domínio ou apenas em um intervalo?

Ao encontrar uma questão sobre paridade, faça:

$$\boxed{f(-x)}$$

e compare com:

$$f(x) \quad\text{e}\quad -f(x).$$

Ao encontrar uma questão sobre periodicidade, procure um número positivo $p$ tal que:

$$\boxed{f(x+p)=f(x)}.$$

Se a questão pedir o período fundamental, procure o menor $p>0$ que satisfaz essa igualdade.