Questões para raciocinar um pouco mais

🧩 Exercício 1 Médio

Considere a expressão:

$$\frac{1}{a^{-n}+1} + \frac{1}{a^{-n+1}+1} +\cdots+ \frac{1}{a^{-1}+1} + \frac{1}{a^0+1} + \frac{1}{a^1+1} +\cdots+ \frac{1}{a^{n-1}+1} + \frac{1}{a^n+1}$$

Para:

$$a=2005 \qquad\text{e}\qquad n=2006$$

determine o valor da expressão.

Ideia principal

À primeira vista, a expressão parece exigir uma quantidade enorme de cálculos.

Mas existe uma simetria escondida.

Os expoentes aparecem aos pares:

$$(-n,n),\quad (-n+1,n-1),\quad \ldots,\quad (-1,1)$$

A sacada é agrupar os termos que possuem expoentes opostos.

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Passo 1 — Considere um par de expoentes opostos

Para um número inteiro positivo $k$, considere:

$$\frac{1}{a^k+1} + \frac{1}{a^{-k}+1}$$

Como:

$$a^{-k}=\frac{1}{a^k}$$

podemos escrever:

$$\frac{1}{a^{-k}+1} = \frac{1}{\frac{1}{a^k}+1}$$

Multiplicando numerador e denominador por $a^k$:

$$\frac{1}{\frac{1}{a^k}+1} = \frac{a^k}{1+a^k}$$

Portanto:

$$\frac{1}{a^k+1} + \frac{a^k}{a^k+1}$$

Colocando no mesmo denominador:

$$\frac{1+a^k}{a^k+1}$$

Logo:

$$\boxed{ \frac{1}{a^k+1} + \frac{1}{a^{-k}+1} =1 }$$

A grande sacada

Cada par de expoentes opostos vale exatamente $1$.

Não precisamos calcular $2005^{2006}$, nem nenhuma outra potência.

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Passo 2 — Contando os pares

Os expoentes vão de:

$$-n$$

até:

$$n$$

exatamente assim:

$$-n,\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots,n$$

Para cada:

$$k=1,2,\ldots,n$$

temos um par:

$$(-k,k)$$

Portanto, existem exatamente:

$$\boxed{n}$$

pares simétricos.

Como cada par vale $1$, a contribuição desses pares é:

$$n\cdot1=n$$

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Passo 3 — O termo central

Ainda sobra o expoente:

$$0$$

O termo correspondente é:

$$\frac{1}{a^0+1}$$

Como:

$$a^0=1$$

temos:

$$\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$

Logo, o termo central contribui com:

$$\boxed{\frac12}$$

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Passo 4 — Montando a soma

A soma inteira é formada por:

• $n$ pares, cada um valendo $1$;
• um termo central valendo $\frac12$.

Portanto:

$$S=n+\frac12$$

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Passo 5 — Substituindo $n=2006$

$$S=2006+\frac12$$

Assim:

$$\boxed{ S=2006\frac12 }$$

ou, equivalentemente:

$$\boxed{ S=\frac{4013}{2} }$$

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Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{e) }2006\frac12}$$

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Insight

O valor de:

$$a=2005$$

praticamente não importa para a resolução.

A verdadeira informação importante é a simetria dos expoentes:

$$a^k \quad\text{e}\quad a^{-k}$$

pois:

$$\boxed{ \frac{1}{a^k+1} + \frac{1}{a^{-k}+1} =1 }$$

Assim, uma expressão que parece envolver centenas ou milhares de cálculos se transforma simplesmente em:

$$\boxed{n+\frac12}$$

A lição

Antes de calcular, procure uma estrutura.

Em questões difíceis, muitas vezes a maior dificuldade não está na conta, mas em perceber o que deve ser agrupado.

🧩 Exercício Médio

O resto da divisão da soma dos algarismos de

$$100^{19}-10019$$

por $83$ é igual a:

Ideia principal

A expressão parece envolver um número gigantesco:

$$100^{19}$$

Mas não precisamos calcular esse número diretamente.

A primeira sacada é transformar a potência:

$$100^{19}=(10^2)^{19}=10^{38}$$

Assim, o problema passa a ser analisar:

$$10^{38}-10019$$

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Passo 1 — Entendendo $10^{38}$

O número $10^{38}$ é formado por:

• um $1$;
• seguido de $38$ zeros.

Portanto:

$$10^{38}=1000\ldots000$$

Ao subtrair $10019$, obtemos:

$$10^{38}-10019 = 99999999999999999999999999999999989981$$

Não precisamos memorizar esse número. O importante é observar a estrutura dos algarismos.

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Passo 2 — Soma dos algarismos

O número resultante possui 33 algarismos iguais a (9), seguidos dos algarismos:

$$8,\ 9,\ 9,\ 8,\ 1$$

Portanto, a soma dos algarismos é:

$$33\cdot9+8+9+9+8+1$$

Calculando:

$$33\cdot9=297$$

e:

$$8+9+9+8+1=35$$

Logo:

$$297+35=332$$

Assim, a soma dos algarismos é:

$$\boxed{332}$$

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Passo 3 — Dividindo por $83$

Agora precisamos encontrar o resto da divisão de $332$ por $83$.

Observe que:

$$83\cdot4=332$$

Portanto:

$$332=83\cdot4+0$$

Logo, o resto é:

$$\boxed{0}$$

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Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a) }0}$$

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Insight

A questão parece exigir o cálculo de uma potência enorme, mas isso é uma distração.

A verdadeira sacada é perceber que:

$$100^{19}=10^{38}$$

e que a estrutura decimal de uma potência de (10) permite determinar rapidamente os algarismos depois da subtração.

A questão testa principalmente a capacidade de enxergar a estrutura do número antes de começar a fazer contas.

Nem sempre precisamos calcular um número gigantesco para descobrir uma propriedade dele.